ریاضیات

مثال‌هایی از رده‌ها

پس از تعریف رده و اجزای بنیادین آن (اشیا، ریخت‌ها و قانون ترکیب)، به معرفی چند نمونهٔ مهم و کلاسیک در جبر می‌پردازیم:

۱. ردهٔ گروه‌ها (Grp)

در این رده، اشیا و ریخت‌ها به صورت زیر مشخص می‌شوند:

• اشیا: کلاس همهٔ گروه‌ها هستند.

Ob(Grp) = Class of all groups

• ریخت‌ها: برای هر دو گروه A و B، مجموعهٔ ریخت‌ها همان مجموعهٔ همهٔ هم‌ریختی‌های گروهی از A به B است:

Mor(A,B) = Hom(A,B) = Set of all group homomorphisms from A to B

• ترکیب: ترکیب معمولیِ توابع (Usual composition of mappings) است.

۲. ردهٔ گروه‌های آبلی (Ab)

این رده زیررده‌ای کامل از ردهٔ گروه‌ها به شمار می‌آید:

• اشیا: کلاس همهٔ گروه‌های آبلی (جابجایی) هستند.

Ob(Ab) = Class of all abelian groups

• ریخت‌ها و ترکیب: درست مانند ردهٔ گروه‌ها، همان هم‌ریختی‌های گروهی و ترکیبِ معمول توابع هستند.

۳. ردهٔ مِدول‌های راست روی یک حلقه (Mod-R)

فرض کنید R یک حلقهٔ یکادار باشد. ردهٔ مِدول‌های راستِ یکادار روی R را با M_R نشان می‌دهیم:

• اشیا: کلاس همهٔ مِدول‌های راستِ یکادار روی حلقهٔ R است.

Ob(M_R) = Class of all unitary right R-modules

• ریخت‌ها: برای هر دو مِدول A و B، ریخت‌ها عبارتند از تمام هم‌ریختی‌های مِدولی (R-linear maps) میان آن‌ها:

Mor(A,B) = Hom_R(A,B) = Set of all R-module homomorphisms

• ترکیب: همان ترکیبِ معمولی نگاشت‌هاست که خاصیت خطی بودن روی حلقه را حفظ می‌کند.