ریاضیات

مثال کاربردیِ ترکیبی در واریته‌ها: تقاطع با یک مؤلفهٔ مشترک

فرض کنید \(k\) میدانی جبری‌بسته باشد؛ برای نمونه:

\[
k = \mathbb{C}
\]

در صفحهٔ آفین \(\mathbb{A}^{2}_{k}\)، دو واریتهٔ زیر را در نظر می‌گیریم:

\[
X = V\bigl(y(y-x)\bigr)
\]

\[
Y = V\bigl(y(y-x^{2})\bigr)
\]

برای فهم هندسی، چندجمله‌ای‌های تعریف‌کننده را تجزیه می‌کنیم:

\[
X = V(y) \cup V(y-x)
\]

\[
Y = V(y) \cup V(y-x^{2})
\]

پس \(X\) اجتماعِ دو خطِ \(y=0\) و \(y=x\) است؛
در حالی که \(Y\) از اجتماعِ خطِ \(y=0\) و سهمیِ \(y=x^{2}\) تشکیل می‌شود.

خطِ \(y=0\) در هر دو واریته حضور دارد؛ بنابراین، مؤلفه‌ای مشترک میان آن‌هاست.

محاسبهٔ تقاطع

از رابطهٔ بنیادیِ تقاطعِ واریته‌ها داریم:

\[
V(I) \cap V(J) = V(I+J)
\]

بنابراین:

\[
X \cap Y
=
V\bigl(y(y-x), y(y-x^{2})\bigr)
\]

اگر \(y=0\) باشد، هر دو معادله صفر می‌شوند؛ پس تمام خطِ \(V(y)\) در تقاطع قرار دارد.

بیرون از خطِ \(y=0\)، باید هم‌زمان داشته باشیم:

\[
y=x,
\qquad
y=x^{2}
\]

در نتیجه:

\[
x=x^{2}
\]

\[
x(x-1)=0
\]

پس \(x=0\) یا \(x=1\) است. نقطهٔ \((0,0)\) از پیش روی خطِ \(y=0\) قرار دارد؛ اما نقطهٔ تازهٔ \((1,1)\) نیز به‌دست می‌آید.

بنابراین:

\[
X \cap Y
=
V(y) \cup \{(1,1)\}
\]

ترجمهٔ ایده‌آلی

ایده‌آلِ واریتهٔ تقاطع، برابر با رادیکالِ مجموعِ ایده‌آل‌های تعریف‌کننده است:

\[
I(X \cap Y)
=
\sqrt{I(X)+I(Y)}
\]

در این مثال داریم:

\[
I(X \cap Y)
=
\sqrt{
\bigl(y(y-x), y(y-x^{2})\bigr)
}
\]

از آن‌جا که تقاطع از خطِ \(y=0\) و نقطهٔ \((1,1)\) تشکیل شده است، ایده‌آلِ آن چنین نوشته می‌شود:

\[
I(X \cap Y)
=
(y) \cap (x-1,y-1)
\]

نکتهٔ کلیدی

تقاطعِ دو واریته لزوماً مجموعه‌ای متناهی از نقاط نیست. اگر دو واریته مؤلفه‌ای مشترک داشته باشند، آن مؤلفه به‌طور کامل در تقاطع باقی می‌ماند. افزون بر آن، ممکن است نقاط یا مؤلفه‌های دیگری نیز در تقاطع ظاهر شوند.

در این مثال، خطِ \(V(y)\) مؤلفهٔ مشترک است و نقطهٔ \((1,1)\) از تقاطعِ خطِ \(y=x\) با سهمیِ \(y=x^{2}\) به‌دست می‌آید.

\[
V(I) \cap V(J)
=
V(I+J)
\]