چون زنجیرِ دقیق از میانِ تانسور گذشت،
گرهی که دیده نمیشد، در همولوژی آشکار شد؛
تور نه افزودهای بر راه،
که آوازِ همان گره در ژرفای راه است.
ادامه: دنبالهٔ دقیقِ بلند و محاسبۀ همولوژیکِ Tor
۷. چرا دنبالۀ دقیقِ بلند پدید میآید؟
فرض کنید دنبالهای دقیق کوتاه از A-مدولها داشته باشیم:
0 → L → M → Q → 0.
اگر با مدول N تانسور کنیم، از راست همچنان دقیق میماند:
L⊗AN → M⊗AN → Q⊗AN → 0.
اما هیچ تضمینی نداریم که نگاشتِ نخست،
L⊗AN → M⊗AN،
تزریقی باشد. آنچه میانِ هستهٔ این نگاشت و ساختارِ اصلیِ دنباله پل میزند،
همان مورفیسمِ اتصالدهنده است:
δ : Tor1A(Q,N)
→ L⊗AN.
و بدینسان قطعهٔ آغازینِ دنبالهٔ دقیقِ بلند چنین میشود:
Tor1A(M,N)
→
Tor1A(Q,N)
→
L⊗AN
→
M⊗AN
→
Q⊗AN
→
0.
دقیقبودن در جملهٔ L⊗AN میگوید:
ker(L⊗AN → M⊗AN)
=
im(δ).
پس هر عنصری که پس از تانسور گرفتن در M⊗AN
صفر شود، از یک کلاسِ تور در درجۀ یک میآید. شکستِ تزریقیبودن، بینام و بیحساب
رها نمیشود؛ تور آن را در خود گرد میآورد.
۸. ساختِ مورفیسمِ اتصالدهنده در مثالِ ساده
دنبالهٔ بنیادینِ زیر را بر روی حلقۀ ℤ در نظر گیرید:
0 → ℤ ──n→ ℤ → ℤ/nℤ → 0.
اگر آن را با ℤ/nℤ تانسور کنیم، چون ضرب در
n روی ℤ/nℤ صفر است، به دست میآوریم:
ℤ/nℤ ──0→ ℤ/nℤ → ℤ/nℤ → 0.
بنابراین هستهٔ نگاشتِ نخست همهٔ ℤ/nℤ است. از اینرو:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,ℤ/nℤ)
≅
ℤ/nℤ.
این مثال نشان میدهد که تور، صرفاً یک اصطلاحِ انتزاعی نیست: ضرب در
n پیش از تانسور تزریقی بود، اما پس از تانسور به نگاشتِ صفر بدل شد؛
و تمامِ این افتِ اطلاعات در Tor1 ثبت گردید.
۹. محاسبۀ عمومیِ Tor1ℤ(ℤ/nℤ,B)
همان تفکیکِ آزاد را نگاه میداریم:
0 → ℤ ──n→ ℤ → ℤ/nℤ → 0.
با تانسور کردن با هر گروه آبلی B، مختلطِ زیر حاصل میشود:
0 → B ──n→ B → 0.
پس:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,B)
≅
ker(B ──n→ B).
به زبان عناصر:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,B)
≅
{ b ∈ B | nb = 0 }.
بنابراین تورِ درجۀ یک با ℤ/nℤ، دقیقاً زیرگروهِ عناصرِ
n-پیچشیِ B را آشکار میکند.
اینجا پیوندِ «تور» با «پیچش» بهمعنای واقعیِ کلمه دیده میشود.
۱۰. فرمولِ کامل برای دو گروهِ دوری
اکنون اگر B=ℤ/mℤ باشد، عناصرِ کشتهشده بهوسیلۀ
n را میتوان صریحاً محاسبه کرد. نتیجه:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,ℤ/mℤ)
≅
ℤ/gcd(n,m)ℤ.
همچنین در درجۀ صفر داریم:
ℤ/nℤ ⊗ℤ ℤ/mℤ
≅
ℤ/gcd(n,m)ℤ.
اما تفاوتِ مفهومی میان این دو را نباید فراموش کرد:
تانسورِ معمولی در درجۀ صفر، حاصلِ تانسوری را نشان میدهد؛
تورِ درجۀ یک، عنصری را میسنجد که بر اثرِ تانسور، در هسته گرفتار شده است.
۱۱. چرا تعریف از انتخابِ تفکیک مستقل است؟
در تعریفِ
ToriA(M,N)
یک تفکیکِ پروژکتیو از M برگزیدیم. پرسش ضروری این است:
اگر تفکیک دیگری برگزینیم، آیا گروهِ متفاوتی به دست میآید؟
پاسخ منفی است. اگر
P•→M
و
P′•→M
دو تفکیکِ پروژکتیو باشند، قضیۀ مقایسۀ تفکیکهای پروژکتیو، نگاشتهای مختلطی فراهم میکند:
P• → P′•,
که روی M همانیاند و تا هموتوپی یکتا هستند. پس از تانسور با
N نیز نگاشتی از مختلطها به دست میآید و این نگاشت روی همولوژی،
یک همریختیِ کانونی القا میکند:
Hi(P•⊗AN)
≅
Hi(P′•⊗AN).
پس Tor وابسته به «مدلِ تفکیکی» نیست؛
تفکیک فقط نردبانی برای محاسبه است، نه جزئی از ذاتِ شیء.
۱۲. تور بهعنوان تابعگرِ مشتقشدۀ چپ
تابعگر
-⊗AN
افزایشی و راستدقیق است. بنابراین مشتقهای چپِ آن تعریف میشوند و دقیقاً همان تورند:
Li(-⊗AN)(M)
≅
ToriA(M,N).
این فرمول جایگاهِ مفهومیِ تور را روشن میکند:
Tor0 خودِ تابعگرِ تانسور است؛
Tor1 نخستین مانعِ دقیقبودن از چپ است؛
Tor2, Tor3, …
لایههای ژرفترِ این مانع را ثبت میکنند.
جمعبندیِ این گام.
تور، همولوژیِ تانسورِ مشتقشده است؛
دنبالهٔ دقیقِ بلندِ آن، شکستِ دقیقبودن را سامان میدهد؛
و در درجۀ یک، بهطور صریح هستهای را مینمایاند که تانسور پدید آورده است.
در گام بعد میتوان به محاسبۀ تور با دنبالههای دقیق کوتاه، لمِ مار، و رابطۀ آن با بُعدِ پروژکتیو پرداخت.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.