ج از حلقهٔ موضعی
مثال‌هایی از حلقهٔ موضعی
«در آینهٔ نقطه، جهانِ تابع‌ها کوچک می‌شود؛
هر چه نزدیکِ آن حقیقت ماند، اهلِ حلقه است؛
و هر چه در همان جا به صفر فرو ریزد، راهی به درون ندارد.»
حلقهٔ موضعی، حلقه‌ای است که رفتار توابع را نه در تمام فضا، بلکه
در نزدیکی یک نقطهٔ معین مطالعه می‌کند.
در هندسهٔ جبری، عناصر حلقهٔ موضعی در نقطهٔ p
همان توابع گویا هستند که در همسایگیِ p
تعریف شده و در آن‌جا قطب ندارند.
۱. خط افین و حلقهٔ موضعی در نقطهٔ ۲
خط افین را بر روی میدان اعداد حقیقی در نظر بگیرید:
X = A¹R = Spec(R[x])
نقطهٔ مورد نظر را برابر a = 2 می‌گیریم.
ایده این است که فقط رفتار توابع در نزدیکیِ عدد ۲ برای ما مهم باشد.
حلقهٔ موضعی در این نقطه چنین است:
OX,2 = R[x](x−2)
معنای این نماد آن است که کسرهای زیر را مجاز می‌شماریم:
f(x) / g(x)
چنین که
g(2) ≠ 0
یعنی مخرج نباید در نقطهٔ x = 2 صفر شود.
زیرا در این صورت، کسر در نزدیکیِ نقطهٔ مورد نظر معنا و رفتار منظمی دارد.
نمونه‌هایی از عناصر حلقهٔ موضعی
| تابع گویا | بررسی مخرج در ۲ | عضو حلقهٔ موضعی؟ |
|---|---|---|
| x² + 3x − 1 | چندجمله‌ای است؛ مخرج ندارد. | بله |
| 1 / (x + 1) | 2 + 1 = 3 ≠ 0 | بله |
| (x + 5) / (x² + 1) | 2² + 1 = 5 ≠ 0 | بله |
| 1 / (x − 2) | 2 − 2 = 0 | خیر |
بنابراین تابع
1/(x+1)
در حلقهٔ موضعیِ نقطهٔ ۲ وجود دارد؛ اما
1/(x−2)
وجود ندارد، زیرا دقیقاً در همان نقطه قطب دارد.
۲. ظرافت مهم: ظاهرِ کسر کافی نیست
گاهی مخرجِ یک نمایش در نقطه صفر می‌شود، اما خودِ تابع پس از ساده‌سازی در نزدیکی نقطه منظم است.
مثال:
(x² − 4) / (x − 2)
در نگاه نخست، مخرج در x = 2 صفر است؛
ولی داریم:
(x² − 4) / (x − 2)
= ((x − 2)(x + 2)) / (x − 2)
= x + 2
پس این تابع گویا، در واقع در همسایگی نقطهٔ ۲ با چندجمله‌ای
x+2
برابر است. بنابراین عنصر حلقهٔ موضعی است و مقدار آن در نقطهٔ ۲ برابر است با:
(x + 2)|x=2 = 4
نتیجه:
در حلقهٔ موضعی، خودِ عنصر ریاضی مهم است، نه فقط یک نمایشِ خاص از آن به صورت کسر.
اگر تابع بتواند در نزدیکی نقطه با نمایشی دارای مخرجِ ناصفر نوشته شود، عضو حلقهٔ موضعی است.
۳. ایده‌آل ماکسیمالِ حلقهٔ موضعی
در حلقهٔ موضعی
OX,2،
توابعی که در نقطهٔ ۲ صفر می‌شوند، یک ایده‌آل ماکسیمال می‌سازند:
m2 = { f ∈ OX,2 | f(2) = 0 }
در این مثال، این ایده‌آل با (x−2) تولید می‌شود:
m2 = (x − 2)R[x](x−2)
مثلاً تابع x−2 در نقطهٔ ۲ صفر می‌شود،
و تابع (x−2)³/(x+1)
نیز چون مخرجش در ۲ ناصفر است و صورتش عامل x−2 دارد، در این ایده‌آل قرار می‌گیرد.
۴. مثال هندسی: سهمی در نقطهٔ مبدأ
خم جبریِ سهمی را در صفحه در نظر بگیرید:
C = V(y − x²) ⊆ A²
نقطهٔ p = (0,0) روی این سهمی قرار دارد.
حلقهٔ مختصات خم چنین است:
R[x,y] / (y − x²)
و حلقهٔ موضعیِ خم در مبدأ برابر است با:
OC,p =
(R[x,y] / (y − x²))(x,y)
اما چون روی سهمی رابطهٔ y=x² برقرار است،
هر تابع موضعی را می‌توان عملاً با متغیر x توصیف کرد. از این رو:
OC,(0,0) ≅ R[x](x)
مثلاً تابع زیر بر روی سهمی، در مبدأ منظم است:
(x + y) / (1 + x²)
زیرا مخرج در مبدأ برابر است با
1+0²=1
و صفر نیست. همچنین با استفاده از رابطهٔ سهمی می‌توان نوشت:
(x + y) / (1 + x²)
= (x + x²) / (1 + x²)
این تابع، تنها رفتار سهمی را در نزدیکی مبدأ ثبت می‌کند؛ نه در تمام صفحه و نه در نقاط دوردست خم.
خلاصه
حلقهٔ موضعی در نقطهٔ a،
توابعی را جمع می‌کند که در نزدیکی a منظم‌اند.
برای خط افین در نقطهٔ ۲ داریم:
OA¹,2=R[x](x−2).
در کسر f/g،
شرط اصلی این است که g(2)≠0.
ایده‌آل ماکسیمال، توابعی را در بر می‌گیرد که در آن نقطه صفر می‌شوند.
حلقهٔ موضعی، بیان جبریِ «جوانهٔ توابع در یک نقطه» است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.