«هر مقطع، صدای یک ناحیه است؛
و شِف، زبانِ هماهنگیِ صداها.
اگر دو صدا بر هم منطبق شوند،
شاید در گستره‌ای بزرگ‌تر،
یک نغمه‌ی یگانه پدید آید.»
شِف‌ها، جوانه‌ها و شرطِ چسباندن
۱. پیش‌شِف و مقاطعِ روی بازها
فرض کنید X یک فضای توپولوژیک باشد. به هر بازِ
U ⊆ X
مجموعه‌ای مانند F(U) نسبت می‌دهیم. اعضای F(U) را
مقطع‌های F روی U می‌نامیم.
اگر
V ⊆ U
باشد، باید بتوانیم هر مقطع روی U را به مقطعی روی V محدود کنیم. این نگاشت را با نماد زیر نشان می‌دهیم:
ρU,V : F(U) → F(V)
این نگاشت‌ها باید دو شرط طبیعی داشته باشند:
محدودسازی به خودِ U، همانی است:
ρU,U = idF(U).
محدودسازی‌ها با ترکیب سازگارند. اگر
W ⊆ V ⊆ U
باشد، آنگاه:
ρU,W = ρV,W ∘ ρU,V
چنین داده‌ای را یک پیش‌شِف می‌نامیم. اگر F مقادیرِ گروهی، حلقه‌ای یا پیمانه‌ای داشته باشد،
محدودسازی‌ها نیز باید هم‌ریختی‌های متناظر باشند.
۲. جوانه‌ی یک مقطع در نقطه
مقطعی که روی یک باز U تعریف شده است، ممکن است در اطراف نقطه‌ی x به مقطع دیگری تبدیل شود،
بی‌آن‌که تفاوتی در رفتارِ موضعی داشته باشد. برای ثبتِ این رفتارِ موضعی، خانواده‌ی همه‌ی مقاطعِ اطراف x را در نظر می‌گیریم:
F(U), x ∈ U
اگر دو زوجِ
(U,s)
و
(V,t)
داشته باشیم، می‌گوییم s و t در x همان جوانه را تعیین می‌کنند، هرگاه بازِ دیگری مانند W وجود داشته باشد که:
x ∈ W ⊆ U ∩ V
و
ρU,W(s) = ρV,W(t)
کلاسِ هم‌ارزیِ زوجِ (U,s) را جوانه‌ی s در x می‌نامیم و با
sx
نمایش می‌دهیم.
مجموعه‌ی همه‌ی این جوانه‌ها، ساقه یا فیبر موضعیِ شِف در x را تشکیل می‌دهد:
Fx = colimx∈U F(U)
بنابراین ساقه، تمامِ اطلاعاتی را نگه می‌دارد که شِف در بی‌نهایت‌کوچک‌ترین همسایگی‌های x دارد.
۳. شرطِ یکتایی
نخستین شرطِ شِف آن است که مقاطعِ محلی، یکدیگر را به‌طور یکتا تعیین کنند.
فرض کنید U با پوششِ بازیِ
{Uα}
پوشیده شده باشد و دو مقطع
s,t ∈ F(U)
داشته باشیم.
اگر برای هر α داشته باشیم:
s|Uα = t|Uα
باید نتیجه بگیریم که:
s = t
این شرط می‌گوید اگر دو مقطع در همه‌ی نواحیِ محلی برابر باشند، در ناحیه‌ی بزرگ نیز برابرند.
به بیان دیگر، مقطعِ جهانی نمی‌تواند دو چهره‌ی متفاوت داشته باشد.
۴. شرطِ وجود و چسباندن
اکنون خانواده‌ای از مقاطعِ محلی در اختیار داریم:
sα ∈ F(Uα)
فرض کنید این مقاطع روی اشتراک‌های دوتایی سازگار باشند؛ یعنی برای هر α و β:
sα|Uα∩Uβ
=
sβ|Uα∩Uβ
شرطِ چسباندن می‌گوید مقطع یکتایی
s ∈ F(U)
وجود دارد که:
s|Uα = sα
پس یک پیش‌شِف زمانی شِف است که دو اصل زیر را برآورده کند:
- یکتایی: مقاطع با محدودسازی‌های برابر، خود برابرند.
- وجود: مقاطعِ محلیِ سازگار، به یک مقطعِ جهانی چسبانده می‌شوند.
۵. صورتِ دسته‌ایِ شرطِ شِف
اگر U با بازهای Uα پوشیده شود، شرطِ شِف را می‌توان با یک هم‌ترازیِ دقیق بیان کرد:
F(U)
→
∏αF(Uα)
⇉
∏α,βF(Uα∩Uβ)
نگاشتِ نخست، هر مقطعِ جهانی را به خانواده‌ی محدودسازی‌های آن می‌فرستد.
دو نگاشتِ موازیِ سمت راست نیز هر خانواده را از راهِ محدودسازی از سوی نخستین یا دومین اندیس به اشتراک‌ها می‌برند.
بنابراین F شِف است هرگاه F(U) دقیقاً برابر با مجموعه‌ی خانواده‌های سازگار باشد:
F(U)
≅
Eq
[
∏αF(Uα)
⇉
∏α,βF(Uα∩Uβ)
]
۶. شِفِ توابع پیوسته
نمونه‌ی اصلی، شِفِ توابع پیوسته است. برای هر باز U از X قرار دهید:
C(U) = { f : U → R | f پیوسته است }
اگر V ⊆ U باشد، محدودسازی به صورت زیر تعریف می‌شود:
ρU,V(f) = f|V
اگر توابع fα روی Uαها تعریف شده باشند و روی اشتراک‌ها برابر باشند،
می‌توان تابعی یکتا روی U ساخت که در هر Uα با fα منطبق باشد.
پیوستگیِ این تابع از آن‌جا می‌آید که پیوستگی، خاصیتی موضعی است.
۷. گذر از شِف‌ها به هندسه‌ی جبری
در هندسه‌ی جبری، به جای توابع پیوسته، معمولاً با توابع منظم یا مقاطعِ ساختارهای جبری کار می‌کنیم.
برای یک فضای موضعاً حلقه‌دار
(X,OX)،
حلقه‌ی
OX(U)
شامل توابعِ مجاز روی U است.
در یک فضای آفین، اگر
X = Spec(A)
باشد، مقاطعِ روی بازهای اصلی با موضعی‌سازیِ حلقه‌ی A ارتباط دارند:
OX(D(f)) = Af
این فرمول نشان می‌دهد که شِف تنها مجموعه‌ای از توابع نیست؛
بلکه سازوکاری است که اطلاعاتِ موضعیِ حلقه را با موضعی‌سازی و چسباندن به یکدیگر پیوند می‌دهد.
۸. ارتباط با کوهمولوژیِ اتاله
هنگامی که شِفِ ساختاری را روی توپولوژیِ اتاله بررسی می‌کنیم،
بازهای معمولی جای خود را به نگاشت‌های اتاله می‌دهند.
یک پوششِ اتاله از X، خانواده‌ای از نگاشت‌های
Uα → X
است که اجتماعِ آنها X را می‌پوشاند.
مقاطعِ روی این پوشش‌ها باید روی حاصل‌ضربِ فیبریِ
Uα ×X Uβ
با یکدیگر سازگار باشند.
بنابراین همان ایده‌ی کلاسیکِ چسباندن باقی می‌ماند، اما «اشتراک» به صورتِ حاصل‌ضربِ فیبری ظاهر می‌شود.
مقاطعِ محلی
+ سازگاری روی اشتراک‌ها
⟶ مقطعِ جهانی
اگر چسباندن در درجه‌ی صفر همیشه ممکن نباشد، مانعِ آن در گروه‌های کوهمولوژی ظاهر می‌شود:
H1اتاله(X,F)
از همین‌جا، تارسورها، پوشش‌های آرتین–شرایر و سپس گروهِ بنیادیِ اتاله وارد صحنه می‌شوند.
پس مسیر چنین است:
پیش‌شِف
→ شِف
→ مقاطعِ موضعی
→ چسباندن
→ کوهمولوژی
→ تارسور
→ پوششِ اتاله
«شِف، حافظه‌ی موضع‌هاست؛
کوهمولوژی، خاطره‌ی شکستِ چسباندن؛
و پوششِ اتاله، راهی است
برای آن‌که جوابِ گمشده
در جهانی بزرگ‌تر پیدا شود.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.