حلقه‌ی موضعی‌سازی و فضای طیف اول
در این نوشته، مفاهیم اساسیِ موضعی‌سازی حلقه‌ها، همریختی‌های طبیعی میان حلقه‌های موضعی و تعریف پیش‌دسته‌ی ساختاری بررسی می‌شود.
۱. موضعی‌سازی حلقه
فرض کنید A یک حلقه و S زیرمجموعه‌ای از آن باشد که نسبت به ضرب بسته است و شامل عنصر واحد نیز می‌شود. به چنین مجموعه‌ای معمولاً «مجموعه‌ی ضربی» گفته می‌شود.
با موضعی‌سازی حلقه‌ی A نسبت به S، حلقه‌ای به صورت زیر به دست می‌آوریم:
S-1A
عناصر این حلقه به صورت کسرهای رسمیِ زیر نوشته می‌شوند:
a / s که در آن a ∈ A و s ∈ S
در این نمایش، عناصرِ مجموعه‌ی S در حلقه‌ی جدید وارون‌پذیر می‌شوند. به بیان دیگر، برای هر s از S، عنصرِ زیر در حلقه‌ی S-1A وجود دارد:
1 / s
و رابطه‌ی زیر برقرار است:
(s / 1) × (1 / s) = 1
۲. همریختی طبیعی
میان حلقه‌ی اصلیِ A و حلقه‌ی موضعی‌شده‌ی S-1A یک همریختی طبیعی وجود دارد که معمولاً با نماد زیر نشان داده می‌شود:
φ : A → S-1A
این همریختی هر عنصر a از A را به کسر زیر می‌فرستد:
φ(a) = a / 1
یعنی عناصر حلقه‌ی A در حلقه‌ی موضعی‌شده، با مخرجِ یک مشاهده می‌شوند.
۳. همریختی میان دو موضعی‌سازی
اگر U و V دو مجموعه‌ی ضربی باشند و رابطه‌ی زیر برقرار باشد:
U ⊆ V
آنگاه می‌توان از موضعی‌سازی نسبت به U به موضعی‌سازی نسبت به V رفت. در این حالت، همریختی طبیعی زیر وجود دارد:
r(V,U) : U-1A → V-1A
این نگاشت به صورت زیر تعریف می‌شود:
r(V,U)(a / u) = a / u
در سمت راست، کسر در حلقه‌ی بزرگ‌ترِ V-1A در نظر گرفته می‌شود. در واقع، چون U زیرمجموعه‌ی V است، هر مخرجی که در U قرار دارد، در V نیز قابل قبول است.
۴. سازگاری نگاشت‌های انتقالی
اگر سه مجموعه‌ی ضربی به صورت زیر داشته باشیم:
U ⊆ V ⊆ W
نگاشت‌های طبیعی باید با یکدیگر سازگار باشند. این سازگاری به صورت زیر نوشته می‌شود:
r(W,V) ∘ r(V,U) = r(W,U)
معنای این رابطه آن است که اگر ابتدا از موضعی‌سازی نسبت به U به موضعی‌سازی نسبت به V برویم و سپس به موضعی‌سازی نسبت به W برسیم، نتیجه با رفتن مستقیم از U به W یکسان خواهد بود.
۵. هسته‌ی همریختی
در تصویر، برای بررسی هسته‌ی یک همریختی مانند زیر نیز استدلال شده است:
S-1g : S-1M → S-1N
اگر عنصری مانند m / s در هسته‌ی این نگاشت باشد، آنگاه داریم:
(S-1g)(m / s) = g(m) / s = 0
صفر بودن کسر g(m) / s یعنی عنصری از S وجود دارد که با ضرب در g(m)، حاصل را صفر کند. بنابراین برای یک t از S داریم:
t × g(m) = 0
از این رابطه نتیجه می‌شود که m، پس از موضعی‌سازی، در هسته‌ی نگاشت قرار می‌گیرد.
۶. تعریف پیش‌دسته
در بخش دیگری از نوشته، مفهوم «پیش‌دسته» معرفی شده است. فرض کنید X یک فضا باشد. برای هر زیرمجموعه‌ی باز U از X، یک شیء مانند A(U) در نظر می‌گیریم.
به هر شمول میان مجموعه‌های باز، یعنی:
U ⊆ V
یک نگاشت محدودسازی نسبت می‌دهیم:
r(V,U) : A(V) → A(U)
این نگاشت معمولاً با نماد زیر نیز نوشته می‌شود:
s ↦ s | U
یعنی یک مقطع یا تابع تعریف‌شده روی V را به محدودیت همان تابع روی U می‌فرستیم.
۷. دو شرط اساسی پیش‌دسته
نگاشت‌های محدودسازی باید دو شرط مهم را برآورده کنند.
شرط نخست: محدودسازی روی خود مجموعه، همانی است.
r(U,U) = IdA(U)
یعنی اگر یک مقطع را از U به خود U محدود کنیم، تغییری در آن ایجاد نمی‌شود.
شرط دوم: محدودسازی‌ها باید ترکیبی سازگار داشته باشند.
اگر U زیرمجموعه‌ی V و V زیرمجموعه‌ی W باشد، آنگاه:
r(W,U) = r(V,U) ∘ r(W,V)
به زبان ساده، محدود کردن مستقیم از W به U با محدود کردن مرحله‌به‌مرحله از W به V و سپس از V به U یک نتیجه دارد.
جمع‌بندی
مضمون کلی صفحات چنین است:
- با انتخاب یک مجموعه‌ی ضربی S در حلقه‌ی A، حلقه‌ی موضعی‌شده‌ی S-1A ساخته می‌شود.
- در این حلقه، عناصر S وارون‌پذیر می‌شوند.
- میان موضعی‌سازی‌های مختلف، وقتی مجموعه‌های ضربی در یکدیگر شمول دارند، نگاشت‌های طبیعی وجود دارد.
- این نگاشت‌ها دارای خاصیت ترکیبی و سازگاری هستند.
- همین ساختار، زمینه‌ی تعریف پیش‌دسته و سپس دسته را فراهم می‌کند.
به طور خلاصه، موضعی‌سازی یعنی تمرکز کردن بر بخشی از حلقه و مجاز دانستنِ تقسیم بر عناصر یک مجموعه‌ی مشخص. این ایده در جبر جابجایی، هندسه‌ی جبری و نظریه‌ی دسته‌ها نقش بنیادی دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.