قضیهها و مثالهای جبر تعویضپذیر
مطالب زیر در پنج موضوع اصلی تنظیم شدهاند و مفاهیم ایدهآلهای اول،
طیف حلقه، موضعیسازی و حلقههای موضعی را بهصورت منظم بیان میکنند.
موضوع اول: ایدهآلهای اول و نگاشت طیفها
تعریف ایدهآل اول
ایدهآل حقیقی P از حلقهٔ جابجاییپذیر
A را ایدهآل اول مینامیم، هرگاه برای هر
a,b ∈ A داشته باشیم:
ab ∈ P ⟹ a ∈ P یا b ∈ P
مجموعهٔ همهٔ ایدهآلهای اول حلقهٔ A را با نماد زیر نشان میدهیم:
Spec(A)
قضیهٔ پیشتصویر ایدهآل اول
اگر
φ : R → S
یک همریختی حلقهها و
q ∈ Spec(S)
باشد، آنگاه پیشتصویر q تحت φ، ایدهآلی اول در
R است:
φ−1(q) ∈ Spec(R)
بنابراین هر همریختی حلقهها نگاشت زیر را میان طیفها ایجاد میکند:
Spec(S) ⟶ Spec(R)
q ⟼ φ−1(q)
ایدهٔ اثبات
اگر
ab ∈ φ−1(q)
باشد، آنگاه:
φ(a)φ(b)=φ(ab)∈q
چون q اول است، یا
φ(a)∈q
یا
φ(b)∈q.
پس
a∈φ−1(q)
یا
b∈φ−1(q).
مثال: نگاشت خارجقسمت
برای نگاشت طبیعی
φ : A → A/I،
ایدهآلهای اول حلقهٔ A/I با ایدهآلهای اول حلقهٔ
A که شامل I هستند، متناظرند:
Spec(A/I)
≅
{ P ∈ Spec(A) | I ⊆ P }
موضوع دوم: مجموعهٔ بستهٔ ضربی و ساخت موضعیسازی
تعریف مجموعهٔ بستهٔ ضربی
زیرمجموعهٔ S ⊆ A را مجموعهٔ بستهٔ ضربی مینامیم، هرگاه:
1 ∈ S
s,t ∈ S ⟹ st ∈ S
قضیه
اگر P یک ایدهآل اول از A باشد، آنگاه:
S=A\P
یک مجموعهٔ بستهٔ ضربی است.
اثبات
واضح است که 1∉P؛ بنابراین 1∈S.
حال اگر a,b∈S باشند، ولی ab∈P،
از اول بودن P نتیجه میشود:
a∈P یا b∈P
که با a,b∈A\P تناقض دارد. پس:
a,b∈S ⟹ ab∈S
تعریف موضعیسازی
موضعیسازی حلقهٔ A نسبت به مجموعهٔ بستهٔ ضربی
S با نماد زیر نمایش داده میشود:
S−1A
عناصر این حلقه بهصورت کسرهای رسمی زیر هستند:
a/s a∈A ، s∈S
در این حلقه، هر عنصر s∈S وارونپذیر میشود:
(s/1)(1/s)=1
موضوع سوم: کسرها و اعمال حلقهٔ موضعیشده
رابطهٔ همارزی
در ساخت موضعیسازی، دو زوج
(a,s)
و
(b,t)
را معادل میدانیم، هرگاه عنصری مانند
u∈S
وجود داشته باشد که:
u(at-bs)=0
بنابراین:
a/s=b/t
⇔
∃u∈S : u(at-bs)=0
اگر A دامنهٔ صحیح باشد، چون هیچ مقسومعلیه صفر ناصفری وجود ندارد،
رابطهٔ بالا به رابطهٔ معمول کسرها تبدیل میشود:
a/s=b/t
⇔
at=bs
جمع و ضرب
a/s+b/t=(at+bs)/(st)
(a/s)(b/t)=ab/(st)
نگاشت طبیعی
همریختی طبیعی از A به S−1A
بهصورت زیر تعریف میشود:
A ⟶ S−1A
a ⟼ a/1
این نگاشت نشان میدهد که عناصر اصلی حلقه در حلقهٔ موضعیشده همچنان حضور دارند،
اما عناصر مجموعهٔ S اکنون وارونپذیر شدهاند.
موضوع چهارم: حلقهٔ موضعی و ایدهآل ماکسیمال یگانه
تعریف حلقهٔ موضعی
حلقهای را موضعی مینامیم که دقیقاً یک ایدهآل ماکسیمال داشته باشد.
اگر P ایدهآل اول حلقهٔ A باشد، حلقهٔ
AP=(A\P)−1A
یک حلقهٔ موضعی است.
قضیهٔ اصلی
تنها ایدهآل ماکسیمال حلقهٔ AP برابر است با:
P AP
=
{a/s | a∈P ، s∉P}
توضیح
اگر
a/s∉PAP
باشد، آنگاه a∉P.
بنابراین a∈A\P=S و در حلقهٔ موضعیشده وارونپذیر است.
پس a/s نیز واحد است.
در نتیجه همهٔ عناصر غیرواحد در PAP قرار دارند و این ایدهآل،
تنها ایدهآل ماکسیمال حلقه است.
میدان باقیمانده
خارجقسمت حلقهٔ موضعی نسبت به ایدهآل ماکسیمال آن، میدان باقیمانده را میسازد:
AP/PAP
≅
Frac(A/P)
اگر P ماکسیمال باشد، آنگاه A/P میدان است و داریم:
AP/PAP≅A/P
موضوع پنجم: مثالهای موضعیسازی و تفسیر هندسی
مثال اول: حلقهٔ چندجملهای
حلقهٔ
A=k[x]
و ایدهآل اول
P=(x)
را در نظر بگیرید.
مجموعهٔ مخرجها عبارت است از:
S=k[x]\(x)
=
{f(x)∈k[x] | f(0)≠0}
پس:
AP=k[x](x)
عناصر این حلقه کسرهایی از شکل زیر هستند:
f(x)/g(x)
با شرط
g(0)≠0
ایدهآل ماکسیمال و میدان باقیمانده عبارتاند از:
m=(x)k[x](x)
k[x](x)/m≅k
مثال دوم: حلقهٔ اعداد صحیح
برای عدد اول p، حلقهٔ موضعیشدهٔ اعداد صحیح چنین است:
Z(p)
=
{a/b | a,b∈Z ، p∤b}
در این حلقه، تمام اعداد صحیحی که بر p بخشپذیر نیستند، وارونپذیر میشوند.
ایدهآل ماکسیمال و میدان باقیمانده عبارتاند از:
pZ(p)
Z(p)/pZ(p)≅Fp
مثال سوم: خم جبری
خم جبری زیر را در نظر بگیرید:
C: y2=x2+x3
حلقهٔ مختصات این خم برابر است با:
A=k[x,y]/(y2−x2−x3)
مبدأ مختصات با ایدهآل ماکسیمال زیر مشخص میشود:
m=(x,y)
موضعیسازی در مبدأ، یعنی:
Am
این حلقه، اطلاعات جبری خم را در همسایگی مبدأ بررسی میکند؛
بنابراین میتوان آن را بهصورت یک «ذرهبین جبری» برای مطالعهٔ رفتار محلی خم دانست.
جمعبندی:
در جبر تعویضپذیر، ایدهآلهای اول نقش نقاط عمومی فضا را دارند،
ایدهآلهای ماکسیمال نقاط بسته را مشخص میکنند و موضعیسازی امکان مطالعهٔ
ساختار حلقه و فضای جبری را در اطراف یک ایدهآل خاص فراهم میسازد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.