حلقهٔ مختصات یک خم جبری
خم، در آینهٔ چندجمله‌ای پدیدار می‌شود؛ هر معادله بخشی از آن را آشکار می‌کند،
و حلقهٔ مختصات، زبانِ توابعی است که بر این خم تعریف می‌شوند.
۱. تعریف خم
خم جبری زیر را در صفحهٔ آفین در نظر بگیرید:
C = V(y - x2) = { (a,b) ∈ k2 | b = a2 }
این خم همان سهمیِ زیر است:
y = x2
فرض کنید k یک میدان، مانند
ℝ یا ℂ، باشد.
حلقهٔ چندجمله‌ای صفحه برابر است با:
k[x,y]
معادلهٔ خم با چندجمله‌ای
f(x,y)=y-x2
داده می‌شود؛ بنابراین ایده‌آل معادلات خم عبارت است از:
I(C) = (y - x2)
۲. حلقهٔ مختصات خم
حلقهٔ مختصات خم از خارج‌قسمت حلقهٔ چندجمله‌ای بر ایده‌آل معادلات به دست می‌آید:
k[C] = k[x,y] / I(C) = k[x,y] / (y - x2)
در این حلقه رابطهٔ
y=x2
برقرار است. بنابراین هر چندجمله‌ایِ دو متغیره را می‌توان با جای‌گذاری
y=x2
فقط بر حسب x نوشت.
برای نمونه:
x2 + y ≡ x2 + x2 = 2x2
y2 - xy + 1 ≡ x4 - x3 + 1
ازاین‌رو حلقهٔ مختصات سهمی با حلقهٔ چندجمله‌ای یک‌متغیره هم‌ریخت است:
k[x,y] / (y - x2) ≅ k[x]
۳. اثبات هم‌ریختی
نگاشت زیر را تعریف می‌کنیم:
φ : k[x,y] → k[x]
φ(g(x,y)) = g(x,x2)
در این نگاشت داریم:
φ(x)=x ، φ(y)=x2
هستهٔ این نگاشت دقیقاً ایده‌آل تولیدشده توسط معادلهٔ خم است:
ker(φ) = (y - x2)
بنابراین، طبق قضیهٔ اول هم‌ریختی حلقه‌ها:
k[x,y] / (y - x2) ≅ k[x]
۴. اول بودن ایده‌آل معادلهٔ خم
چون k[x] یک دامنهٔ صحیح است، خارج‌قسمت
k[x,y]/(y-x2)
نیز دامنهٔ صحیح است. پس:
(y - x2) یک ایده‌آل اول است.
از نظر هندسی، این موضوع می‌گوید که خم
C=V(y-x2)
تجزیه‌ناپذیر است؛ یعنی نمی‌توان آن را به اجتماع دو زیرمجموعهٔ جبریِ کوچک‌تر تجزیه کرد.
۵. ماکسیمال نبودن ایده‌آل معادله
یک ایده‌آل زمانی ماکسیمال است که خارج‌قسمت آن یک میدان باشد. اما:
k[x,y] / (y - x2) ≅ k[x]
و k[x] میدان نیست؛ زیرا مثلاً عنصر
x
در آن وارون‌پذیر نیست. بنابراین:
(y - x2) اول است، اما ماکسیمال نیست.
این مثال تفاوت مهم میان ایده‌آل اول و ایده‌آل ماکسیمال را نشان می‌دهد:
maximal ⇒ prime
prime ⇏ maximal
۶. ایده‌آل ماکسیمال متناظر با یک نقطه
نقطه‌ای از خم را به صورت زیر انتخاب کنید:
P = (a,a2)
ایده‌آل این نقطه در صفحهٔ آفین عبارت است از:
mP = (x-a, y-a2)
در حلقهٔ مختصات خم، چون
y=x2
است، این ایده‌آل را می‌توان به صورت زیر نوشت:
ma = (x-a)
اکنون خارج‌قسمت را محاسبه می‌کنیم:
k[C] / ma
≅ k[x] / (x-a)
≅ k
چون k میدان است، نتیجه می‌گیریم:
ma یک ایده‌آل ماکسیمال است.
مثال عددی
نقطهٔ P=(2,4) روی خم قرار دارد، زیرا:
4 = 22
ایده‌آل این نقطه چنین است:
mP = (x-2,y-4)
و در حلقهٔ مختصات خم:
mP = (x-2)
k[C] / mP
≅ k[x] / (x-2)
≅ k
۷. طیف حلقهٔ مختصات
طیف یک حلقه، مجموعهٔ همهٔ ایده‌آل‌های اول آن است:
Spec(A) = { P ⊆ A | P prime }
از آنجا که
k[C] ≅ k[x]،
داریم:
Spec(k[C]) ≅ Spec(k[x])
اگر k میدان جبری‌بسته‌ای مانند
ℂ
باشد، ایده‌آل‌های اول مهم عبارت‌اند از:
(0)
(x-a) ، a ∈ k
ایده‌آل صفر، نقطهٔ عمومی خم را نمایش می‌دهد و ایده‌آل‌های
(x-a)
نقاط بستهٔ خم را مشخص می‌کنند.
۸. زنجیرهٔ بنیادی هندسهٔ جبری
(a,a2)
⇕
(x-a,y-a2)
⇕
(x-a) ⊂ k[C]
⇕
k[C]/(x-a) ≅ k
نقطهٔ هندسی، ایده‌آل ماکسیمال و خارج‌قسمت میدانی، سه صورت از یک واقعیت واحدند.
جمع‌بندی
| مفهوم | در این مثال | نتیجه |
|---|---|---|
| خم | C = V(y-x2) | سهمی |
| حلقهٔ مختصات | k[x,y]/(y-x2) | ≅ k[x] |
| ایده‌آل معادلات | (y-x2) | اول، اما غیرماکسیمال |
| ایده‌آل نقطه | (x-a,y-a2) | ماکسیمال |
| خارج‌قسمت نقطه | k[C]/ma | ≅ k |
| طیف | Spec(k[C]) | مجموعهٔ ایده‌آل‌های اول |
ایده‌آل‌ها زبان جبرند، ایده‌آل‌های اول استخوان‌بندی هندسه‌اند،
ایده‌آل‌های ماکسیمال نقاط بسته را نمایش می‌دهند،
و حلقهٔ مختصات زبانِ توابعِ روی خم است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.