مثال کاربردی ترکیبی دیگر: ایده‌آل، ایده‌آل اول، ایده‌آل ماکسیمال، طیف
صورت مثال
حلقهٔ زیر را در نظر بگیرید:
A = k[x,y]/(xy)
در این مثال، می‌خواهیم چهار مفهوم بنیادی را با هم ببینیم:
- ایده‌آل
- ایده‌آل اول
- ایده‌آل ماکسیمال
- طیف حلقه
۱) ایده‌آل چیست؟
ایده‌آل، زیرمجموعه‌ای از حلقه است که با جمع و ضرب در عناصر حلقه سازگار باشد.
به بیان دقیق‌تر، اگر I ⊆ A باشد، آنگاه:
- اگر a,b ∈ I باشند، آنگاه a+b ∈ I.
- اگر a ∈ I و r ∈ A باشد، آنگاه ra ∈ I.
در حلقهٔ A = k[x,y]/(xy)، دو ایده‌آل طبیعی و مهم داریم:
I = (x)
J = (y)
این‌ها ایده‌آل‌های تولیدشده توسط تصویر متغیرهای x و y در خارج‌قسمت هستند.
۲) ایده‌آل اول
یک ایده‌آل P اول است هرگاه خارج‌قسمت A/P دامنهٔ صحیح باشد.
بررسی ایده‌آل (x)
A/(x) ≅ k[y]
چون k[y] یک دامنهٔ صحیح است، پس (x) ایده‌آل اول است.
بررسی ایده‌آل (y)
A/(y) ≅ k[x]
چون k[x] نیز دامنهٔ صحیح است، پس (y) هم ایده‌آل اول است.
نتیجه:
در این مثال، (x) و (y) هر دو ایده‌آل اول‌اند.
۳) ایده‌آل ماکسیمال
یک ایده‌آل حقیقی M ماکسیمال است هرگاه هیچ ایده‌آل حقیقیِ بزرگ‌تری بین آن و کل حلقه وجود نداشته باشد.
معیار مهم:
M maximal ⇔ A/M is a field
در حلقهٔ A = k[x,y]/(xy)، اگر k یک میدان باشد،
آنگاه برای هر نقطهٔ (a,b) روی مجموعهٔ
V(xy)=V(x)\cup V(y)، ایده‌آل
(x-a, y-b)
در حلقهٔ چندجمله‌ای، پس از عبور از خارج‌قسمت، یک ایده‌آل ماکسیمالِ متناظر می‌سازد.
به طور خاص، اگر روی شاخهٔ x=0 باشیم، مثلاً:
M = (x, y-a)
آنگاه:
A/M ≅ k
پس M ماکسیمال است. به همین ترتیب، روی شاخهٔ y=0 نیز ایده‌آل‌های ماکسیمال داریم.
۴) طیف حلقه
طیف حلقه مجموعهٔ تمام ایده‌آل‌های اول آن است:
Spec(A) = { P ⊂ A | P prime }
در مثال ما، چون xy=0، هندسهٔ طیف دو شاخه را نشان می‌دهد:
شاخهٔ x=0 و شاخهٔ y=0.
ایده‌آل‌های اول شاخص، شامل دو ایده‌آل زیر هستند:
(x)
(y)
و ایده‌آل‌های ماکسیمال، نقاط بسته روی این دو شاخه‌اند.
بنابراین طیف، به صورت هندسی، دو خطِ به‌هم‌پیوسته را مجسم می‌کند که در مبدأ یکدیگر را قطع می‌کنند.
جمع‌بندی نهایی
| مفهوم | مثال در A = k[x,y]/(xy) |
|---|---|
| ایده‌آل | (x), (y) |
| ایده‌آل اول | (x), (y) |
| ایده‌آل ماکسیمال | (x, y-a), (x-a, y) |
| طیف | Spec(A) = set of prime ideals |
در یک جمله: ایده‌آل‌ها زبان جبرند، ایده‌آل‌های اول استخوان‌بندی هندسه‌اند، ایده‌آل‌های ماکسیمال نقاط بسته‌اند، و طیف، نقشهٔ کامل این جهان است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.