مثال کاربردی ترکیبی دوم:
ایده‌آل، ایده‌آل اول، ایده‌آل ماکسیمال و طیف
صورت مسئله
حلقهٔ چندجمله‌ای دو متغیرهٔ زیر را در نظر بگیرید:
A = R[x,y]
در این مثال، سه ایده‌آل زیر را بررسی می‌کنیم:
I = (x)
P = (xy)
M = (x−1, y−2)
هدف آن است که مشخص کنیم کدام‌یک از این ایده‌آل‌ها اول یا ماکسیمال‌اند
و جایگاه آنها را در طیف حلقهٔ A بررسی کنیم.
۱. ایده‌آل چیست؟
زیرمجموعه‌ای مانند I از حلقهٔ A
یک ایده‌آل است اگر دو شرط زیر را داشته باشد:
نسبت به جمع بسته باشد؛ یعنی اگر f,g ∈ I،
آنگاه f+g ∈ I.
اگر f ∈ I و h ∈ A،
آنگاه hf ∈ I.
ایده‌آل تولیدشده توسط چند عنصر، شامل تمام ترکیب‌های حلقه‌ای آن عناصر است.
برای نمونه:
(x) = { x · f(x,y) | f(x,y) ∈ R[x,y] }
بنابراین اعضای (x) دقیقاً چندجمله‌ای‌هایی هستند
که بر x بخش‌پذیرند.
۲. بررسی ایده‌آل I = (x)
خارج‌قسمت حلقه بر ایده‌آل (x) را محاسبه می‌کنیم:
A / (x)
=
R[x,y] / (x)
≅
R[y]
در این خارج‌قسمت، متغیر x صفر می‌شود؛
بنابراین تنها متغیر y باقی می‌ماند.
حالت اول: اگر R یک میدان باشد
اگر R = k یک میدان باشد، آنگاه
k[y] یک دامنهٔ صحیح است؛ زیرا حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای ناصفر
در آن صفر نمی‌شود.
نتیجه:
اگر R = k میدان باشد، ایده‌آل
(x) یک ایده‌آل اول است.
اما k[y] میدان نیست؛ برای مثال چندجمله‌ای
y وارون‌پذیر نیست.
بنابراین:
(x) اول است، اما ماکسیمال نیست.
از دید هندسی، ایده‌آل (x) محور
y را در صفحه مشخص می‌کند:
V(x) = { (0,b) | b ∈ k }
۳. بررسی ایده‌آل P = (xy)
اکنون ایده‌آل تولیدشده توسط حاصل‌ضرب دو متغیر را بررسی می‌کنیم:
P = (xy)
خارج‌قسمت آن برابر است با:
A / (xy) = k[x,y] / (xy)
در این حلقه داریم:
x · y = 0
اما نه x = 0 است و نه y = 0.
پس حلقهٔ خارج‌قسمت دارای مقسوم‌علیه صفر است و دامنهٔ صحیح نیست.
نتیجه:
ایده‌آل (xy) اول نیست.
از نظر هندسی، معادلهٔ xy = 0 اجتماع دو محور است:
V(xy) = V(x) ∪ V(y)
این مجموعه تجزیه‌پذیر است و از دو مؤلفهٔ جداگانه تشکیل می‌شود؛
به همین دلیل ایده‌آل (xy) اول نیست.
البته رادیکال این ایده‌آل برابر خودش است:
√(xy) = (xy)
پس (xy) یک ایده‌آل رادیکال است، اما اول نیست.
۴. بررسی ایده‌آل M = (x−1, y−2)
این ایده‌آل شامل تمام چندجمله‌ای‌هایی است که به شکل زیر نوشته می‌شوند:
M = (x−1, y−2)
برای محاسبهٔ خارج‌قسمت، در نظر می‌گیریم:
x = 1
و
y = 2
بنابراین هر چندجمله‌ای f(x,y) در خارج‌قسمت،
مقدار خود را در نقطهٔ (1,2) می‌گیرد:
f(x,y) ↦ f(1,2)
در نتیجه:
A / M ≅ k
چون k میدان است، ایده‌آل
M = (x−1,y−2) ماکسیمال است.
هر ایده‌آل ماکسیمال، اول نیز هست.
نتیجه:
(x−1,y−2) هم ایده‌آل اول و هم ایده‌آل ماکسیمال است.
از نظر هندسی، این ایده‌آل نقطهٔ زیر را مشخص می‌کند:
V(x−1,y−2) = { (1,2) }
۵. طیف حلقهٔ چندجمله‌ای
طیف حلقهٔ A = k[x,y] مجموعهٔ تمام ایده‌آل‌های اول آن است:
Spec(k[x,y]) = { تمام ایده‌آل‌های اول k[x,y] }
چند نمونه از نقاط طیف عبارت‌اند از:
(0)
(x)
(y)
(x−1, y−2)
(x−a, y−b)
توجه کنید که در اینجا «نقطهٔ طیف» الزاماً یک نقطهٔ معمولی هندسی نیست؛
بلکه یک ایده‌آل اول است.
برای مثال:
ایده‌آل (x) یک نقطهٔ طیفی است که محور
y را نمایش می‌دهد.
ایده‌آل (x−1,y−2) یک نقطهٔ بستهٔ معمولی،
یعنی نقطهٔ هندسی (1,2)، است.
ایده‌آل (0) در صورت میدان بودن
k، یک ایده‌آل اول است و نقش نقطهٔ عمومی را دارد.
۶. روابط میان ایده‌آل‌ها
در طیف حلقه، ترتیب شامل‌شدن ایده‌آل‌ها به ساختار هندسی مربوط می‌شود.
برای نمونه:
(0) ⊂ (x) ⊂ (x,y)
از دید هندسی:
(0) کل صفحهٔ جبری را مشخص می‌کند.
(x) محور y را مشخص می‌کند.
(x,y) مبدأ مختصات را مشخص می‌کند.
هرچه ایده‌آل بزرگ‌تر شود، مجموعهٔ صفرهای آن کوچک‌تر می‌شود:
(0) ⊂ (x) ⊂ (x,y)
V(x,y) ⊂ V(x) ⊂ V(0)
بنابراین، شمول ایده‌آل‌ها در جبر با وارونگی شمول مجموعه‌های هندسی همراه است.
جمع‌بندی نهایی
| ایده‌آل | اول؟ | ماکسیمال؟ | تفسیر هندسی |
|---|---|---|---|
(x)
| بله
| خیر
| محور y
|
(xy)
| خیر
| خیر
| اجتماع دو محور
|
(x−1,y−2)
| بله
| بله
| نقطهٔ (1,2)
|
نتیجهٔ کلیدی:
maximal ⇒ prime
prime ⇏ maximal
یعنی هر ایده‌آل ماکسیمال، اول است؛
اما هر ایده‌آل اول الزاماً ماکسیمال نیست.
ایده‌آل (x) دقیقاً نمونه‌ای از ایده‌آل اولی است
که ماکسیمال نیست.
در هندسهٔ جبری، ایده‌آل‌ها زبان معادلات‌اند،
ایده‌آل‌های اول اجزای تجزیه‌ناپذیر فضا را نشان می‌دهند،
و ایده‌آل‌های ماکسیمال نقاط بستهٔ آن فضا را مشخص می‌کنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.