مثال کاربردی ترکیبی: ایده‌آل، ایده‌آل اول، ایده‌آل ماکسیمال و طیف
صورت مسئله
حلقهٔ زیر را در نظر بگیرید:
A = Z / 6Z
یعنی عناصر حلقهٔ A عبارت‌اند از:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
در این مثال، می‌خواهیم ایده‌آل‌های حلقه، ایده‌آل‌های اول،
ایده‌آل‌های ماکسیمال و طیف حلقه را تعیین کنیم.
۱. ایده‌آل‌های حلقه
چون A = Z/6Z است و عدد ۶ دارای مقسوم‌علیه‌های
1، 2، 3، 6 است، ایده‌آل‌های این حلقه عبارت‌اند از:
(0) = {0}
(2) = {0, 2, 4}
(3) = {0, 3}
(1) = A = {0,1,2,3,4,5}
ایده‌آل (1) کل حلقه است و به آن
ایده‌آل واحد می‌گوییم.
ایده‌آل‌های حقیقی حلقه، ایده‌آل‌هایی هستند که از کل حلقه کوچک‌ترند:
(0)، (2)، (3)
۲. ایده‌آل اول
ایده‌آل حقیقی p را اول می‌نامیم هرگاه از رابطهٔ
ab ∈ p نتیجه شود که:
a ∈ p
یا
b ∈ p
برای تشخیص ایده‌آل اول، از قضیهٔ مهم زیر استفاده می‌کنیم:
قضیه:
یک ایده‌آل p اول است اگر و فقط اگر حلقهٔ خارج‌قسمت
A/p یک دامنهٔ صحیح باشد.
بررسی ایده‌آل (2)
A/(2)
=
(Z/6Z)/(2)
≅
Z/2Z
=
F2
چون F2 یک میدان و در نتیجه یک دامنهٔ صحیح است،
ایده‌آل (2) اول است:
(2) ∈ Spec(A)
بررسی ایده‌آل (3)
A/(3)
=
(Z/6Z)/(3)
≅
Z/3Z
=
F3
چون F3 نیز یک میدان است،
ایده‌آل (3) نیز اول است:
(3) ∈ Spec(A)
بررسی ایده‌آل (0)
ایده‌آل صفر اول نیست؛ زیرا در حلقهٔ A داریم:
2 × 3 = 6 = 0 در A
اما:
2 ≠ 0
و
3 ≠ 0
بنابراین در A دو عنصر ناصفر حاصل‌ضربشان صفر است.
پس A دامنهٔ صحیح نیست و در نتیجه:
(0) ∉ Spec(A)
۳. ایده‌آل ماکسیمال
ایده‌آل حقیقی m را ماکسیمال می‌نامیم هرگاه ایده‌آل حقیقی دیگری
بین m و کل حلقه وجود نداشته باشد.
طبق قضیهٔ بنیادی:
ایده‌آل m ماکسیمال است اگر و فقط اگر
A/m یک میدان باشد.
قبلاً دیدیم:
A/(2) ≅ F2
A/(3) ≅ F3
هر دو خارج‌قسمت میدان‌اند. بنابراین:
(2) و (3) ایده‌آل‌های ماکسیمال A هستند.
در این مثال، هر ایده‌آل ماکسیمال اول نیز هست:
Max(A) = { (2), (3) }
۴. طیف حلقه
طیف یک حلقه، مجموعهٔ تمام ایده‌آل‌های اول آن است:
Spec(A) = { ایده‌آل‌های اول A }
در حلقهٔ A = Z/6Z فقط ایده‌آل‌های
(2) و (3) اول هستند.
بنابراین:
Spec(A) = { (2), (3) }
چون هر دو ایده‌آل ماکسیمال‌اند، نقاط طیف در این مثال هر دو
نقطهٔ بسته هستند.
۵. ساختار هندسی طیف
طیف حلقهٔ A را می‌توان به صورت یک فضای دو نقطه‌ای تصور کرد:
(2)
(3)
در این حلقه، چون ایده‌آل صفر اول نیست، نقطهٔ عمومی در طیف وجود ندارد.
هر دو نقطهٔ طیف، بسته و ماکسیمال‌اند.
این وضعیت با طیف حلقهٔ اعداد صحیح، یعنی
Spec(Z)، تفاوت دارد؛ زیرا در
Spec(Z) ایده‌آل صفر نیز اول است و نقش نقطهٔ عمومی را دارد.
جمع‌بندی نهایی
| مفهوم | نتیجه در این مثال |
|---|---|
ایده‌آل‌ها | (0)، (2)، (3)، (1) |
ایده‌آل‌های اول | (2)، (3) |
ایده‌آل‌های ماکسیمال | (2)، (3) |
طیف حلقه | Spec(A) = { (2), (3) } |
ایده‌آل صفر | اول نیست؛ زیرا حلقه مقسوم‌علیه صفر دارد. |
بنابراین در حلقهٔ
A = Z/6Z داریم:
(2)، (3) ∈ Spec(A)
(2)، (3) ∈ Max(A)
Spec(A) = Max(A) = { (2), (3) }
در این مثال، طیف حلقه همان فضای ایده‌آل‌های اول است؛
و چون حلقه متناهی است، تمام نقاط طیف، ماکسیمال و بسته‌اند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.