خاصیتِ جهانیِ محلی‌سازی (حلقهٔ کسرها) و یکتایی یکریختی‌های جبری
برگرفته از صفحات ۵۰ الی ۵۵ دست‌نوشته‌های مرجع
۱. قضیهٔ خاصیت جهانیِ حلقهٔ کسرها (Universal Property)
صورت قضیه: فرض کنید S یک زیرمجموعهٔ ضربی از حلقهٔ تعویض‌پذیر R و f: R → S⁻¹R هم‌ریختی کانونیکال (f(a) = a/1) باشد. اگر g: R → R' یک هم‌ریختی حلقه‌ای باشد به‌طوری‌که برای هر s ∈ S، عنصر g(s) در R' وارون‌پذیر باشد، آنگاه:
∃! h: S⁻¹R → R' (هم‌ریختی یکتا) به‌طوری‌که h ∘ f = g
ضابطهٔ این هم‌ریختی به صورت h(a/s) = g(a) · (g(s))⁻¹ تعریف می‌شود.
۲. مراحل اثبات قضیه
الف) اثبات خوش‌تعریفی (Well-defined):
فرض کنید a/s = a'/s' باشد. طبق تعریف رابطهٔ هم‌ارزی در S⁻¹R، عنصری مانند t ∈ S وجود دارد به‌طوری‌که:
t(as' - a's) = 0 ===> tas' = ta's
با اعمال هم‌ریختی g بر طرفین:
g(t) g(a) g(s') = g(t) g(a') g(s)
چون t, s, s' ∈ S هستند، عناصر g(t)، g(s) و g(s') در حلقهٔ R' وارون‌پذیرند. با ضرب طرفین در (g(t))⁻¹ (g(s))⁻¹ (g(s'))⁻¹ نتیجه می‌شود:
g(a) (g(s))⁻¹ = g(a') (g(s'))⁻¹ ===> h(a/s) = h(a'/s')
ب) اثبات هم‌ریختی بودن و برقراری h ∘ f = g:
حفظ ضرب و جمع:
h((a/s) · (a'/s')) = h(aa'/ss') = g(aa')(g(ss'))⁻¹ = g(a)g(s)⁻¹ · g(a')g(s')⁻¹ = h(a/s) · h(a'/s')
h((a/s) + (a'/s')) = h((as'+a's)/ss') = [g(a)g(s')+g(a')g(s)](g(s)g(s'))⁻¹ = h(a/s) + h(a'/s')
برقراری رابطه ترکیب: به ازای هر a ∈ R داریم:
(h ∘ f)(a) = h(f(a)) = h(a/1) = g(a) · (g(1))⁻¹ = g(a) · 1 = g(a)
ج) اثبات یکتایی (Uniqueness) نگاشت h:
فرض کنید h': S⁻¹R → R' هم‌ریختی دیگری باشد به‌طوری‌که h' ∘ f = g. در این صورت:
برای هر a ∈ R داریم h'(a/1) = g(a) و برای هر s ∈ S داریم h'(s/1) = g(s).
از آنجا که (s/1) · (1/s) = 1/1، پس h'(1/s) = (h'(s/1))⁻¹ = (g(s))⁻¹. در نتیجه:
h'(a/s) = h'( (a/1) · (1/s) ) = h'(a/1) · h'(1/s) = g(a) · (g(s))⁻¹ = h(a/s)
پس هم‌ریختی h کاملاً منحصربه‌فرد (یکتا) است. ∎
۳. ساختارهای R-جبری و یکریختی‌های کانونیکال (صفحات ۵۴ و ۵۵)
هم‌ریختی R-جبری: اگر حلقه‌های R' و R'' مجهز به هم‌ریختی‌های ساختاری f': R → R' و f'': R → R'' باشند، نگاشت ψ: R' → R'' را یک هم‌ریختی R-جبری گویند هرگاه دیاگرام ساختاری جابجا شود؛ یعنی:
ψ ∘ f' = f''
اگر ψ یکریختی باشد، معکوس آن ψ⁻¹: R'' → R' نیز یک هم‌ریختی R-جبری است زیرا ψ⁻¹ ∘ f'' = ψ⁻¹ ∘ (ψ ∘ f') = f'.
نتیجهٔ بنیادین (یکریختی محلی‌سازی):
اگر R' یک R-جبر تعویض‌پذیر باشد به‌طوری‌که:
۱. به ازای هر s ∈ S، عنصر g(s) در R' وارون‌پذیر باشد.
۲. هستهٔ نگاشت ساختاری برابر با ker g = {a ∈ R | ∃ s ∈ S : sa = 0} باشد (تک‌ریختی).
۳. هر عنصر R' به فرم g(a)(g(s))⁻¹ باشد (پوشایی).
آنگاه یک یکریختی یکتایِ R-جبری میان S⁻¹R و R' برقرار است (S⁻¹R ≅ R').
خاصیتِ جهانی تضمین می‌کند که ساختارِ حلقهٔ کسرها مستقل از نحوهٔ ساختِ صوریِ آن، به‌صورتِ یکتا تعیین می‌شود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.