ریاضیات

۱. مجموعهٔ ضربی (Multiplicative Set):

زیرمجموعه‌ای چون S از حلقهٔ A را «مجموعهٔ ضربی» گویند هرگاه نسبت به عمل ضرب بسته باشد (a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S) و شامل عنصرِ واحد (1 ∈ S) باشد. این مجموعه، زیربنایِ ساختِ کسرهاست.

۲. ترفندِ رابینوویچ (Rabinowitsch Trick):

تکنیکی در اثباتِ قضیهٔ صفرهای هیلبرت که با افزودنِ یک متغیرِ کمکیِ معکوس (xₙ₊₁ = 1/f)، یک مسئلهٔ هندسیِ پیچیده را به یک مسئلهٔ وجودِ «ایده‌آل سره» تبدیل می‌کند؛ به گونه‌ای که می‌توان تناقضِ 1=0 را در آن جستجو کرد.

مثال ۱ (محلی‌سازی در اعداد صحیح):

فرض کنید A = ℤ و S = {1, 2, 4, 8, ...} = {2ⁿ | n ≥ 0} (مجموعهٔ توان‌هایِ ۲).

در اینجا حلقهٔ کسرها S⁻¹ℤ، حلقهٔ تمامِ اعدادِ گویایی است که مخرج آن‌ها توانی از ۲ است (مثل 3/4 یا 5/16).

این حلقه، «محل» یا «موضع»ی است که در آن عدد ۲ وارون‌پذیر شده است!

مثال ۲ (وارون‌سازی در جبر - صفحه ۴۹):

اگر f ∈ A یک تابع باشد، مجموعهٔ S = {1, f, f², ...} یک مجموعهٔ ضربی است. محلی‌سازی S⁻¹A دقیقاً معادلِ اضافه کردنِ 1/f به حلقه است؛ این یعنی در هر نقطه‌ای که f(x) ≠ 0 باشد، تابعِ 1/f تعریف شده و موجود است. این هستهٔ تعریفِ «مواضعِ غیرتکین» در هندسه است.

مثال ۳ (نشان دادنِ هم‌ارزی - صفحه ۴۸):

در کسرها داریم a/s = b/t اگر و فقط اگر at = bs (در حلقه‌هایِ بدونِ مقسوم‌علیه صفر). اما در حالت کلی، وجودِ t ∈ S الزامی است تا t(at - bs) = 0 شود.

مثلاً در حلقهٔ ℤ₆، اگر S = {1, 3} باشد، آیا 1/1 با 3/3 برابر است؟

بله، زیرا 3(1·3 - 3·1) = 3(0) = 0. پس در کسرها، این دو در واقع یک عنصر هستند.