حلقههای نوتری، چندگونهها و تحویلناپذیری
پیوندِ هندسهی جبری و جبر تعویضپذیر
۱. نوتری بودنِ حلقههای خارجقسمتی
قضیه: اگر حلقهٔ A نوتری باشد، آنگاه به ازای هر ایدهآل I از A، حلقهٔ خارجقسمتی A / I نیز نوتری است.
برهان / استدلال:
میدانیم نگاشتِ پوشای طبیعی φ: A → A / I وجود دارد. به ازای هر ایدهآل J در A / I، تصویر معکوس آن یعنی I' = φ⁻¹(J) = { a ∈ A | φ(a) ∈ J } یک ایدهآل در حلقهٔ A است.
چون A نوتری است، ایدهآل I' متناهیمولد است؛ یعنی داریم: I' = 〈a₁, a₂, ..., aₘ〉.
در نتیجه، تصویر این مولدها یعنی J = 〈φ(a₁), φ(a₂), ..., φ(aₘ)〉 نیز متناهیمولد خواهد بود. پس هر ایدهآل از A / I متناهیمولد بوده و A / I نوتری است.
نتیجه: چون حلقهٔ چندجملهایهای k[x₁, ..., xₙ] طبق قضیه پایه هیلبرت نوتری است، حلقهٔ مختصاتی هر چندگونهٔ V یعنی k[V] = k[x₁, ..., xₙ] / I(V) نیز همواره حلقهای نوتری است.
۲. چندگونهها به عنوان اشتراک متناهی اَبَرویهها
چون هر ایدهآل I ⊆ k[x₁, ..., xₙ] متناهیمولد است، میتوان نوشت: I = 〈F₁, F₂, ..., Fₘ〉.
بنابراین مجموعهٔ صفرهای آن برابر است با:
V(I) = V(F₁, ..., Fₘ) = V(F₁) ∩ V(F₂) ∩ ... ∩ V(Fₘ)
مجموعه صفرهای یک تکچندجملهای V(F) را «اَبَرویه» (Hypersurface) مینامند. پس هر چندگونهٔ جبری، حاصلِ اشتراک متناهی از ابررویهها است.
۳. معیار تحویلناپذیری چندگونه (ایدهآل اول)
تعریف: چندگونهٔ V ⊆ Aⁿ(k) را تحویلناپذیر (Irreducible) گوییم هرگاه نتوان آن را به صورت اجتماع دو زیرچندگونهٔ اکید V = V₁ ∪ V₂ نوشت (که در آن V₁ ≠ V و V₂ ≠ V). در غیر این صورت آن را تحویلپذیر مینامند.
قضیهٔ بنیادین تناظر:
چندگونهٔ V تحویلناپذیر است اگر و تنها اگر ایدهآلِ متناظرِ آن I(V) یک ایدهآل اول (Prime Ideal) در حلقهٔ چندجملهایها باشد.
طرح اثبات (جهت چپ به راست):
فرض کنید V تحویلناپذیر باشد و F₁ · F₂ ∈ I(V). اگر به تناقض فرض کنیم F₁ ∉ I(V) و F₂ ∉ I(V)، نقاطی چون x₁ ∈ V و x₂ ∈ V یافت میشوند به طوری که F₁(x₁) ≠ 0 و F₂(x₂) ≠ 0.
با تعریف V₁ = V ∩ V(F₁) و V₂ = V ∩ V(F₂)، مشاهده میشود که V = V₁ ∪ V₂ با زیرمجموعههای اکید است که با تحویلناپذیری V در تناقض است. بنابراین الزاماً F₁ ∈ I(V) یا F₂ ∈ I(V) و ایدهآل اول است.
جبر و هندسه آینهدار یکدیگرند؛ یکپارچگیِ هندسی همارزِ سادگی و اولبودنِ ساختارِ جبری است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.