منزلِ ششم — فضایِ توپولوژیک
توپولوژیِ زاریسکی و فرهنگنامهیِ نگاشتها
چگونه جبر، فضایِ هندسی را معماری میکند؟
۱. تعریفِ فضا: توپولوژیِ زاریسکی
در هندسهیِ جبری، برایِ تعریفِ فضا، نیاز نداریم که فاصلهیِ میانِ نقاط را بدانیم؛ بلکه کافی است بدانیم کدام زیرمجموعهها «بسته» هستند. در توپولوژیِ زاریسکی، هر مجموعهیِ جبری (صفرگاهِ چندجملهایها) را به عنوانِ یک مجموعهیِ بسته تعریف میکنیم.
- اشتراکِ هر تعداد مجموعهیِ بسته، بسته است.
- اجتماعِ متناهیِ مجموعههایِ بسته، بسته است.
۲. فرهنگنامهیِ نگاشتها (عملیات روی ایدهآلها)
این همان پلِ باشکوه است که جبر را به هندسه ترجمه میکند. هر عملیاتِ جبری روی ایدهآلها، یک رخدادِ هندسی را رقم میزند:
الف) جمعِ ایدهآلها ($I + J$): متناظر است با اشتراکِ هندسی مجموعهها.
ب) ضربِ ایدهآلها ($I \cdot J$): متناظر است با اجتماعِ هندسی مجموعهها.
خلاصه:
به کمکِ این دیکشنری، ما دیگر با نقاط به تنهایی کار نمیکنیم؛ ما با «فرهنگِ معادلات» در یک «فضایِ توپولوژیک» زندگی میکنیم. هندسه، اکنون فرزندِ خلفِ جبر است.
پایانِ منزلِ ششم (توپولوژی و دیکشنری) | آماده برای انتشار
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.