import os
html = """
تابعی که در خودِ نقطه صفر شود، در m_x میآرمد؛
و آن که همسایگی را نیز تهی کند، در J_x فروتر مینشیند.
هر دو به صفر رسیدهاند، اما نه به یک ژرفا؛
یکی محوِ یک دم است و دیگری محوِ یک جوار.
از صفرِ نقطهای تا صفرِ همسایگی
در ایستگاه پیشین دیدیم که برای هر نقطهی x ∈ X دو ایدهآل میتوان ساخت:
و روشن است که J_x ⊆ m_x. اکنون با یک مثالِ عینی نشان میدهیم که این شمول میتواند سره باشد؛ یعنی صفر شدن در نقطه و صفر شدن در همسایگی یکسان نیستند.
۱. تابعِ تکّهایِ نمونه: صفر در بازهی میانی
با انتقال، نقطهی موردنظر را صفر میگیریم. تابعِ پیوستهی g را چنین تعریف میکنیم:
g(t) = t + 1/r برای t ≤ −1/r
g(t) = 0 برای −1/r ≤ t ≤ 1/r
g(t) = t − 1/r برای t ≥ 1/r
پیوستگی در دو نقطهی اتصال برقرار است:
در t = −1/r داریم: −1/r + 1/r = 0
در t = 1/r داریم: 1/r − 1/r = 0
این تابع روی بازهی میانی [−1/r, 1/r] یکسره صفر است؛ یعنی در یک همسایگیِ کامل از صفر محو میشود. پس:
۲. تفاوتِ اصلی: صفرِ نقطهای، نه صفرِ همسایگی
اکنون تابعِ سادهی f(t) = t را بنگر:
در خودِ t = 0 داریم f(0) = 0، پس f ∈ m_0.
اما در هیچ همسایگیِ صفر یکسره صفر نیست؛ زیرا هر همسایگیِ صفر نقطهای چون t = δ را در بر دارد که در آن f(δ) = δ ≠ 0. پس f ∉ J_0.
۳. نتیجه: شمولِ سره
از این دو مثال، شمولِ سره آشکار میشود:
نکتهی بنیادین: «صفر شدن در نقطه» شرطی ضعیفتر از «صفر شدن در همسایگی» است.
هر تابع که در همسایگی محو شود، در نقطه نیز صفر است؛
اما وارونش درست نیست.
این مرزِ باریک، گوهرِ تمایزِ m_x و J_x است.
"""
os.makedirs("/mnt/data/sylow_6_files", exist_ok=True)
path = "/mnt/data/sylow_6_files/23-تفاوت-نقطه-و-همسایگی.html"
with open(path, "w", encoding="utf-8") as f:
f.write(html)
print("saved:", path)
print("size:", os.path.getsize(path))
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.