ریاضیات

تثبیت‌کننده‌ها، بلاک‌ها و ساختار زیرگروه‌ها

📜 استخراج دقیق احکام و فرمول‌ها

۱. فرض‌های اولیه و حل‌پذیری

• شرط حل‌پذیری گروه \(G\):
  G⁽ⁿ⁾ = 1

• معرفی مدار (Orbit) یک نقطه: \(x^G\) یا \(\alpha^G\).

۲. رابطه تثبیت‌کننده و نرمال بودن

اگر زیرگروه \(H\) شامل تثبیت‌کننده‌ها باشد:

• اگر \(\alpha^h = \alpha\) برای هر \(h \in H\)، آنگاه: \(H \le G_\alpha\).
• در صورت وجود رابطه \(G_\alpha \le H\)، پس برای هر \(h \in H\):
  G_α^h = G_α ≤ H^h = H

• حکم اصلی (نرمال بودن):

  ∀ β ∈ Ω, G_β ≤ H   &implies;   H ⊴ G

• شرط بلاک بودن: برای زیرمجموعه \(X \subseteq \Omega\) با \(|X| > 2\):
  X^g ∩ X = ∅   یا   X^g = X

۳. اثبات ویژگی بلاک (Block Property)

• در صورت تلاقی غیرتهی (\(X^g \cap X \neq \emptyset\)):

  (α^h₁)^g = α^h₂   →   h₁gh₂^-1 ∈ G_α ≤ H   →   g ∈ H

• تعریف تثبیت‌کننده: \(\{ g \in G \mid x^g = x \} \le G\).

۴. شاخص‌ها و اندازه‌ها

• اندازه مدار بر حسب شاخص:
  |X| = [H : G_α]

• زنجیره زیرگروه‌ها: \(G_\alpha < H < G\).
• رابطه در حالت \(H=G\):
  [G : G_α] = |X|   &implies;   X = Ω

تدوین شده از یادداشت‌های دست‌نویس نظریه گروه‌ها