ریاضیات

احکامِ بستار و نقطهٔ تراکم

۱) بسته بودن و برابری با بستار

اگر

A

بسته باشد، آنگاه هر مجموعهٔ بستهٔ شاملِ

A

حاویِ

Ā

است؛ پس:

از سوی دیگر، همیشه

A ⊆ Ā

است. بنابراین:

و بالعکس، اگر

Ā = A

باشد، چون

Ā

بسته است، پس

A

نیز بسته است. در نتیجه:

۲) رابطهٔ بستار با نقاطِ تراکم

فرض کنیم

A′

مجموعهٔ همهٔ نقاطِ تراکمِ

A

باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم:

اثبات:

فرض کنیم

x ∈ Ā.

اگر

x ∈ A

باشد که کار تمام است. اگر

x ∉ A

باشد، آنگاه هر همسایگیِ بازِ

x

با

A

اشتراک دارد، و از آنجا که

x

خود در

A

نیست، آن نقطه باید نقطهٔ دیگری از

A

باشد. پس

x ∈ A′.

بنابراین:

برعکس، اگر

x ∈ A

باشد که وضوحاً

x ∈ Ā

است. اگر

x ∈ A′

باشد، آنگاه هر همسایگیِ بازِ

x

حاویِ نقطه‌ای از

A

است؛ پس هر همسایگیِ باز با

A

اشتراک دارد و در نتیجه

x ∈ Ā.

بنابراین:

از دو شمولِ فوق نتیجه می‌شود: