مثال‌هایی از گروه بنیادیِ فضاهای حاصل‌ضرب
از قضیهٔ زیر استفاده می‌کنیم:
π1(X × Y, (x,y))
≅
π1(X,x) × π1(Y,y)
از آنجا که گروه بنیادیِ دایره برابر با گروه اعداد صحیح است، داریم:
π1(S1) ≅ ℤ
بنابراین برای توروسِ دوبعدی:
π1(S1 × S1)
≅
π1(S1) × π1(S1)
π1(S1 × S1) ≅ ℤ × ℤ
همچنین چون فضای اقلیدسی ℝ
هم‌بند به سادگی است، گروه بنیادی آن بدیهی است:
π1(ℝ) = {e}
پس:
π1(ℝ × S1)
≅
π1(ℝ) × π1(S1)
≅ {e} × ℤ ≅ ℤ
و برای حاصل‌ضربِ سه دایره داریم:
π1(S1 × S1 × S1)
≅
ℤ × ℤ × ℤ
نیز، اگر ℤ
را با توپولوژی گسسته در نظر بگیریم، هر مؤلفهٔ هم‌بند آن یک نقطه است؛ از این‌رو:
π1(S1 × ℤ)
≅
π1(S1) × π1(ℤ)
≅ ℤ
رترکشن و زیر‌فضای رترکت
فرض کنید A
زیرمجموعه‌ای از فضای توپولوژیک
X باشد.
اگر نگاشت پیوسته‌ای چون
r : X → A
وجود داشته باشد که رویِ A
همانی باشد، یعنی:
r|A = idA
یا به بیان نقطه‌ای:
∀ a ∈ A r(a) = a,
آنگاه A را
رترکتِ X
و نگاشت r را
رترکشن می‌نامیم.
مثال. کرهٔ Sn رترکتی از فضای سوراخ‌شدهٔ زیر است:
r : ℝn+1 \ {0} → Sn
x ↦ x / ||x||
زیرا اگر x ∈ Sn،
آنگاه ||x|| = 1 و در نتیجه:
r(x) = x / ||x|| = x.
اثرِ رترکشن بر گروه بنیادی
اگر A
رترکتی از X باشد،
نگاشتِ شمول و رترکشن را به ترتیب به صورت زیر می‌نویسیم:
i : A → X
,
r : X → A
چون رترکشن پس از شمول همانی است، خواهیم داشت:
r ∘ i = idA
با اعمال تابع القایی بر گروه‌های بنیادی:
(r ∘ i)*
=
r* ∘ i*
=
(idA)*
=
idπ1(A)
بنابراین i*
یک‌به‌یک است و
r*
پوشا است. به‌ویژه،
π1(A)
به‌صورت یک زیرگروه از
π1(X)
ظاهر می‌شود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.