گروهِ بنیادیِ فضایِ حاصل‌ضرب
قضیه.
فرض کنیم X و
Y
دو فضای توپولوژیک باشند و
x ∈ X و
y ∈ Y.
آنگاه گروه بنیادیِ فضای حاصل‌ضرب، با حاصل‌ضرب مستقیمِ گروه‌های بنیادیِ دو فضا هم‌ریخت است:
π1(X × Y, (x, y))
≅
π1(X, x) × π1(Y, y)
برای اثبات، دو تصویر طبیعیِ زیر را در نظر می‌گیریم:
p1 : X × Y → X
,
p2 : X × Y → Y
بنابراین هم‌ریختیِ القاییِ مورد نظر به صورت زیر تعریف می‌شود:
ψ : π1(X × Y, (x, y))
→ π1(X, x) × π1(Y, y)
[f] ↦ (p1*[f] , p2*[f])
در این‌جا، [f]
کلاس هموتوپیِ یک حلقهٔ بسته در
X × Y
با نقطهٔ پایهٔ
(x,y)
است. مؤلفهٔ نخستِ آن به‌وسیلهٔ
p1
به حلقه‌ای در X
و مؤلفهٔ دوم به‌وسیلهٔ
p2
به حلقه‌ای در Y
فرستاده می‌شود.
برای بررسیِ سازگاریِ این نگاشت با عمل گروهی، اگر
f و
g
دو حلقهٔ قابلِ ترکیب باشند، داریم:
ψ([f][g]) = ψ([f * g])
= (p1*[f * g] , p2*[f * g])
= (p1*[f] p1*[g] ,
p2*[f] p2*[g])
= (p1*[f] , p2*[f])
(p1*[g] , p2*[g])
= ψ([f]) ψ([g]).
پس ψ
یک هم‌ریختی گروهی است؛ و با اثبات یک‌به‌یک و پوشا بودن آن، هم‌ریختیِ اصلیِ زیر به دست می‌آید:
π1(X × Y, (x, y))
≅
π1(X, x) × π1(Y, y).
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.