عمل گروهی و نگاشت‌های متناظر
فرض کنید G روی X عمل کند و V یک مجموعهٔ باز در X باشد. اگر Kx یک همسایگی مناسب از x باشد،
نگاشت‌های زیر را در نظر می‌گیریم:
g : X → X
g.x = gx
در این‌جا g عضوی از گروه G است و x عضوی از فضا X. طبق تعریف عمل گروهی، برای هر g و هر x داریم:
(e).x = x
(g1g2).x = g1.(g2.x)
پس اگر y = g.x باشد، آنگاه با اعمال g روی y نیز رفتار سازگار عمل گروهی حفظ می‌شود.
هم‌ارزی و سازگاری عمل
در این یادداشت، منظور از هم‌ارزی این است که اگر دو نقطه با یک عمل گروهی به هم مربوط باشند،
آنگاه ساختار محلی آنها نیز به‌صورت طبیعی منتقل می‌شود. به بیان دیگر، برای هر g در G و هر x در X،
اگر y = g.x، آنگاه g یک تناظر میان همسایگی‌های x و y القا می‌کند.
این تناظر باعث می‌شود که نگاشت مربوطه روی همسایگی‌های مناسب، خوب‌رفتار باشد.
قضیهٔ اصلی
اگر G روی X به‌صورت پیوسته عمل کند، آنگاه برای هر g در G، نگاشت
p_g : X → X
که به‌وسیلهٔ
p_g(x) = g.x
تعریف می‌شود، یک همریختیِ مناسب در سطح محلی است.
همچنین اگر بخواهیم این نگاشت را روی یک همسایگی Kx محدود کنیم، آنگاه داریم:
p_g|Kx : Kx → g(Kx)
و این محدودسازی، ساختار محلی را حفظ می‌کند.
نتیجه
پس عمل گروهی نه‌تنها نقاط را جابه‌جا می‌کند، بلکه همسایگی‌ها و ساختار محلی فضا را نیز به‌طور منظم منتقل می‌سازد.
در نتیجه، اگر x و y = g.x باشند، آنگاه همسایگی‌های متناظر آنها از طریق g با هم متناظر می‌شوند.
g.y = g.(g.x)
و این همان سازگاری بنیادیِ عمل گروهی است که در برهان‌های بعدی به‌کار می‌آید.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.