دنبالهٔ دقیق، جمع مستقیم و نگاشت‌های طبیعی
در این بخش، دنبالهٔ دقیق مدول‌ها و ساختار جمع مستقیم دو مدول بررسی می‌شود.
در مثال‌ها، R
یک حلقه و مدول‌ها را از نوع
R-مدول
در نظر می‌گیریم.
۱) دنبالهٔ دقیق
یک دنبالهٔ همریختی از مدول‌ها به شکل زیر را در نظر بگیرید:
0 → M' →f M →g M'' → 0
این دنباله را دقیق می‌گوییم، هرگاه در هر مرحله، تصویر نگاشت قبلی
برابر هستهٔ نگاشت بعدی باشد. بنابراین شرط اصلی دقت در مدول میانی چنین است:
Im(f) = Ker(g)
وجود صفر در ابتدای دنباله نشان می‌دهد که نگاشت
f
یک‌به‌یک است؛ و وجود صفر در انتهای دنباله نشان می‌دهد که نگاشت
g
پوشا است.
نتیجه:
0 → M' → M → M'' → 0
یک دنبالهٔ دقیق کوتاه است؛ یعنی نگاشت اول یک‌به‌یک، نگاشت دوم پوشا و
تصویر نگاشت اول برابر هستهٔ نگاشت دوم است.
۲) جمع مستقیم دو مدول
برای دو مدول R،
جمع مستقیم آنها به شکل زیر نوشته می‌شود:
R ⊕ R = R × R
اعضای این مدول به‌شکل زوج‌های مرتب
(r1, r2)
هستند که در آنها:
r1, r2 ∈ R
۳) نگاشت‌های تزریق طبیعی
دو نگاشت طبیعی از R
به جمع مستقیم R × R
تعریف می‌شوند:
نگاشت اول
i1 : R → R × R
r ↦ (r, 0)
این نگاشت، هر عنصر r
را در مؤلفهٔ اول قرار می‌دهد و مؤلفهٔ دوم را صفر می‌گیرد.
نگاشت دوم
i2 : R → R × R
r ↦ (0, r)
این نگاشت، هر عنصر r
را در مؤلفهٔ دوم قرار می‌دهد و مؤلفهٔ اول را صفر می‌گیرد.
۴) نگاشت‌های تصویر یا پروجکشن
از جمع مستقیم R × R
به هر یک از مؤلفه‌ها، دو نگاشت تصویر طبیعی داریم:
تصویر روی مؤلفهٔ اول
p1 : R × R → R
(r1, r2) ↦ r1
تصویر روی مؤلفهٔ دوم
p2 : R × R → R
(r1, r2) ↦ r2
۵) رابطهٔ مهم بین این نگاشت‌ها
ترکیب هر نگاشت تزریق طبیعی با تصویر متناظر، همانی است:
p1 ∘ i1 = idR
p2 ∘ i2 = idR
برای نمونه:
p1(i1(r)) = p1(r,0) = r
خلاصه
دنبالهٔ دقیق کوتاه به‌صورت
0 → M' → M → M'' → 0
نوشته می‌شود.
در دنبالهٔ دقیق، تصویر هر نگاشت با هستهٔ نگاشت بعدی برابر است.
جمع مستقیم دو کپی از \(R\)، یعنی
R ⊕ R،
با R × R
نمایش داده می‌شود.
نگاشت‌های
i1(r)=(r,0)
و
i2(r)=(0,r)
تزریقی هستند.
نگاشت‌های
p1
و
p2
مؤلفهٔ اول و دوم زوج مرتب را استخراج می‌کنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.