ویژگی پنجم: پایداری نگاشت‌های پوششی تحت ترکیب
یکی دیگر از ویژگی‌های مهم نگاشت‌های پوششی این است که در شرایط معمولِ نظریهٔ فضاهای پوششی، اگر دو پوشش را پشت سر هم قرار دهیم، حاصل نیز یک پوشش خواهد بود. به بیان ساده، «پوشاندنِ یک فضا با فضای دیگر» و سپس پوشاندن آن فضای میانی، ساختار ورقه‌ورقه را از بین نمی‌برد.
صورت قضیه
فرض کنید دو نگاشت پوششی داشته باشیم:
p : E → X
q : X → Y
آنگاه، تحت فرض‌های متعارفِ نظریهٔ پوشش‌ها که امکان انتخاب همسایگی‌های ورقه‌ورقهٔ سازگار را فراهم می‌کنند، ترکیب این دو نگاشت نیز یک نگاشت پوششی است:
q ∘ p : E → Y
یعنی برای هر نقطهٔ y ∈ Y، همسایگیِ بازی مانند U از y وجود دارد که پیش‌تصویر آن تحت نگاشت ترکیبی، به ورقه‌های مجزا تجزیه می‌شود:
(q ∘ p)−1(U) = ⨆α Wα
و محدودیت نگاشت ترکیبی بر هر ورقه یک هومئومورفیسم است:
(q ∘ p)|Wα : Wα → U
تحلیل شهودی
تصور کنید E از چندین ورقه روی X ساخته شده است و خودِ X نیز از چندین ورقه روی Y قرار دارد. هنگامی که از E به Y می‌رویم، هر ورقهٔ فضای میانی نیز به ورقه‌های کوچک‌تری در E تجزیه می‌شود.
پس ساختار نهایی مانند یک پوششِ چندمرحله‌ای است:
E -- p --> X -- q --> Y
در این وضعیت، هر نقطهٔ نزدیک به Y را می‌توان نخست به چند نسخه در X و سپس هر نسخه را به چند نسخه در E بالا برد. بنابراین، از دید فضای Y، فضای E همچنان از ورقه‌های محلی تشکیل شده است.
ایدهٔ اثبات
یک نقطهٔ دلخواه مانند y ∈ Y را در نظر بگیرید. چون q : X → Y یک پوشش است، همسایگیِ بازِ ورقه‌ورقه‌ای U از y وجود دارد، به‌طوری‌که:
q−1(U) = ⨆i ∈ I Vi
و برای هر i، محدودیت نگاشت q بر ورقهٔ Vi یک هومئومورفیسم است:
q|Vi : Vi ≅ U
اکنون هر ورقهٔ Vi را در نظر می‌گیریم. چون p : E → X نیز پوششی است، پیش‌تصویر این ورقه در E به ورقه‌های مناسب تقسیم می‌شود:
p−1(Vi) = ⨆j ∈ Ji Wi,j
به‌طوری‌که برای هر Wi,j، محدودیت p یک هومئومورفیسم بر روی Vi است:
p|Wi,j : Wi,j ≅ Vi
اکنون روی هر ورقهٔ Wi,j داریم:
(q ∘ p)|Wi,j
=
q|Vi ∘ p|Wi,j
اما ترکیب دو هومئومورفیسم، باز هم یک هومئومورفیسم است. پس:
(q ∘ p)|Wi,j : Wi,j ≅ U
در نتیجه، U تحت نگاشت q ∘ p به‌طور ورقه‌ورقه پوشانده می‌شود و نگاشت ترکیبی یک پوشش است.
درجهٔ پوششِ ترکیبی
اگر هر دو پوشش تعداد متناهی ورقه داشته باشند، درجهٔ پوشش ترکیبی برابر حاصل‌ضرب درجه‌های آن‌هاست. به‌طور دقیق، اگر:
deg(p) = m
deg(q) = n
آنگاه:
deg(q ∘ p) = m × n
زیرا هر نقطهٔ y ∈ Y ابتدا n پیش‌تصویر در X دارد و هر یک از آن پیش‌تصویرها نیز m پیش‌تصویر در E دارند.
مثال: پوشش‌های دایره
برای هر عدد طبیعیِ مثبت n، نگاشت زیر یک پوشش n-ورقه‌ای از دایره به خودش است:
pn : S1 → S1
pn(z) = zn
اکنون دو نگاشت پوششی زیر را در نظر بگیرید:
pm(z) = zm
pn(z) = zn
ترکیب آنها چنین است:
(pn ∘ pm)(z)
= pn(zm)
= (zm)n
= zmn
پس ترکیب یک پوشش mn-ورقه‌ای است:
pn ∘ pm = pmn
برای نمونه، اگر ابتدا نگاشت z ↦ z2 و سپس نگاشت z ↦ z3 را اعمال کنیم، حاصل نگاشت زیر خواهد بود:
z ↦ z6
بنابراین، یک پوشش دوورقه‌ای و سپس یک پوشش سه‌ورقه‌ای، در مجموع یک پوشش شش‌ورقه‌ای می‌سازند.
ارتباط با گروه بنیادی
اگر فضاها همبند و شرایط لازم برقرار باشند، هر پوشش زیرگروهی از گروه بنیادی فضای پایه را تعیین می‌کند. در زنجیرهٔ پوشش‌ها:
E -- p --> X -- q --> Y
زنجیره‌ای از زیرگروه‌ها در گروه بنیادی Y به وجود می‌آید:
(q ∘ p)*(π1(E,e0))
⊆
q*(π1(X,x0))
⊆
π1(Y,y0)
پس ترکیب پوشش‌ها از دید جبری نیز با قرار گرفتنِ پیاپی زیرگروه‌ها در یکدیگر متناظر است.
نکتهٔ فنی
در بیان کاملاً کلیِ توپولوژی، برای نتیجه‌گیری از پوششی بودن ترکیب باید امکان انتخاب همسایگی‌های ورقه‌ورقهٔ سازگار را بررسی کرد. در بسیاری از کاربردهای رایج، از جمله پوشش‌های متناهی‌ورقه، پوشش‌های دایره و فضاهای استانداردی که در توپولوژی جبری بررسی می‌شوند، این سازگاری برقرار است و ترکیب دقیقاً همان‌گونه که گفته شد یک نگاشت پوششی خواهد بود.
جمع‌بندی
- ترکیب دو نگاشت پوششی، در شرایط متعارف، باز هم یک نگاشت پوششی است.
- ورقه‌های پوشش نهایی از بالا بردنِ پیاپی ورقه‌های دو پوشش اولیه ساخته می‌شوند.
- اگر پوشش‌ها به‌ترتیب m-ورقه‌ای و n-ورقه‌ای باشند، پوشش ترکیبی mn-ورقه‌ای است.
- این ویژگی با زنجیرهٔ زیرگروه‌ها در گروه بنیادی ارتباط مستقیم دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.