همان‌ریختی موضعی (Local Isomorphism) در توپولوژی
یک نگاشت پیوسته میان دو فضای توپولوژیک را همان‌ریختی موضعی می‌نامیم اگر در همسایگی هر نقطه، مانند یک هومئومورفیسم رفتار کند؛ یعنی هرچند ممکن است نگاشت در کل فضا یک‌به‌یک یا پوشا نباشد، اما در مقیاس موضعی ساختار توپولوژیکی را کاملاً حفظ می‌کند.
تعریف
فرض کنید:
p : E → X
یک نگاشت پیوسته باشد. می‌گوییم p یک همان‌ریختی موضعی است هرگاه برای هر نقطهٔ e ∈ E، همسایگی بازی مانند U از e وجود داشته باشد به‌طوری‌که:
p|U : U → p(U)
یک هومئومورفیسم باشد؛ یعنی:
p|U : U ≅ p(U)
در اینجا p(U) نیز باید یک مجموعهٔ باز در X باشد.
تعبیر شهودی
همان‌ریختی موضعی یعنی اگر فقط ناحیه‌ای کوچک پیرامون هر نقطه را مشاهده کنیم، فضای مبدأ و مقصد از نظر توپولوژیکی کاملاً یکسان دیده می‌شوند. تفاوت ممکن است تنها در مقیاس کلی ظاهر شود.
برای نمونه، دایره در مقیاس موضعی شبیه یک بازه از خط حقیقی است؛ اما در مقیاس سراسری، خط حقیقی و دایره همان‌ریخت نیستند، زیرا دایره دارای حلقهٔ بسته است و خط حقیقی چنین حلقه‌ای ندارد.
رابطه با نگاشت پوششی
هر نگاشت پوششی یک همان‌ریختی موضعی است. اگر:
p : E → X
یک پوشش باشد، برای هر نقطهٔ x ∈ X یک همسایگی باز V وجود دارد که پیش‌تصویر آن به اجتماع نابه‌همبندِ ورقه‌ها تجزیه می‌شود:
p−1(V) = ⋃α Uα
و محدودیت نگاشت روی هر ورقه یک هومئومورفیسم است:
p|Uα : Uα ≅ V
پس در هر نقطهٔ e ∈ E، می‌توان ورقه‌ای مانند Uα یافت که نگاشت پوششی روی آن همان‌ریختی باشد. بنابراین:
Covering Map ⇒ Local Homeomorphism
نکتهٔ مهم: عکس قضیه برقرار نیست
هر همان‌ریختی موضعی لزوماً یک نگاشت پوششی نیست. تفاوت اصلی این است که در تعریف پوشش، باید برای هر نقطهٔ فضای پایه یک همسایگی باز V وجود داشته باشد که تمام پیش‌تصویر آن به ورقه‌هایی هم‌شکل با V تجزیه شود.
اما در همان‌ریختی موضعی فقط لازم است برای هر نقطهٔ فضای مبدأ، یک همسایگی کوچک مناسب پیدا کنیم. در نتیجه، شرط پوششی بودن قوی‌تر است.
مثال اصلی: پوشش خط حقیقی از دایره
نگاشت زیر را در نظر بگیرید:
p : R → S1
p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))
این نگاشت در همسایگی کوچک هر t ∈ R یک‌به‌یک است و یک بازهٔ کوچک از خط را به یک کمان باز از دایره به‌طور هومئومورفیک می‌فرستد. بنابراین p یک همان‌ریختی موضعی است.
همچنین این نگاشت یک پوشش است، زیرا برای هر کمان بازِ به‌اندازهٔ کافی کوچک در S1، پیش‌تصویر آن از اجتماع بازه‌هایی در R تشکیل می‌شود که هرکدام هومئومورفیک با همان کمان‌اند.
مثال: نگاشت توان روی دایره
برای هر عدد صحیح مثبت n، نگاشت:
q : S1 → S1
q(z) = zn
یک همان‌ریختی موضعی و در واقع یک پوشش n-برگی است. هر نقطهٔ دایره دقیقاً n پیش‌تصویر دارد:
|q−1(z)| = n
رابطه با مشتق در هندسهٔ دیفرانسیل
در حالت منیفلدهای هموار، اگر نگاشت هموار:
f : M → N
دارای مشتق وارون‌پذیر در هر نقطه باشد، طبق قضیهٔ تابع معکوس، f یک دیفئومورفیسم موضعی است؛ و در نتیجه یک همان‌ریختی موضعی نیز هست:
dfx invertible ⇒ f is a local diffeomorphism ⇒ f is a local homeomorphism
جمع‌بندی
- همان‌ریختی موضعی نگاشتی است که در همسایگی هر نقطه هومئومورفیسم است.
- این مفهوم، یکسانی ساختار توپولوژیکی در مقیاس کوچک را بیان می‌کند.
- هر نگاشت پوششی یک همان‌ریختی موضعی است.
- عکس این گزاره عموماً درست نیست؛ زیرا پوشش به شرط یکنواخت‌تری بر روی تمام فیبرها نیاز دارد.
- نگاشت R → S1 و نگاشت z ↦ zn نمونه‌های کلاسیک همان‌ریختی موضعی هستند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.