مفاهیم پایه: مدار (Orbit) و پایدارساز (Stabilizer) در اثر گروه
در ادامه مباحث جبر پیشرفته و نظریه گروه‌ها، یادداشت‌هایی درباره اثر گروه بر یک مجموعه را بررسی می‌کنیم. این مفاهیم در تحلیل فضاهای همگن و پوشش‌های منظم کاربرد فراوانی دارند.
۱. تعریف مدار (Orbit)
اگر گروه G بر مجموعه X اثر کند، مدار نقطه x که با
orb(x)
یا
Gx
نمایش داده می‌شود، به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
orb(x) = { g.x | g ∈ G }
مدار در واقع مجموعه تمام نقاطی در X است که می‌توان با استفاده از اعضای گروه G از نقطه x به آنها رسید.
۲. پایدارساز (Stabilizer)
پایدارساز نقطه x که با
stab(x)
یا
Gₓ
نمایش داده می‌شود، زیرگروهی از G است که نقطه x را ثابت نگه می‌دارند:
stab(x) = { g ∈ G | g.x = x }
۳. حالت خاص: اثر بدیهی
در دست‌نوشته اشاره شده است که اگر مدار یک نقطه تنها شامل خود آن نقطه باشد:
orb(x) = {x}
این معادل است با اینکه بگوییم برای هر g ∈ G داشته باشیم g.x = x. در این حالت پایدارساز نقطه برابر با کل گروه خواهد بود:
stab(x) = G
تحلیل محاسبات پایین صفحه
بخش انتهایی تصویر به روابط جبری میان عناصر گروه و اثر آنها اشاره دارد، به‌ویژه رابطه‌ای شبیه به:
gᵢ⁻¹(gⱼ x) = x
که نشان‌دهنده بررسی برابری اثر اعضای مختلف گروه روی نقاط است. این محاسبات معمولاً برای اثبات یک‌به‌یک بودن نگاشت‌های طبیعی بین فضاهای خارج‌قسمتی یا بررسی «اثر آزاد» (Free Action) گروه به‌کار می‌روند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.