اثبات قضیهٔ ترکیب نگاشت‌های پوششی
یکی از ویژگی‌های مهم نگاشت‌های پوششی، پایداری آنها تحت ترکیب است. در این پست، قضیهٔ زیر را اثبات می‌کنیم:
قضیه: فرض کنید p : X̃ → X و q : X → Z دو نگاشت پوششی باشند. در این صورت، نگاشت ترکیب r = q ∘ p : X̃ → Z نیز یک نگاشت پوششی است.
اثبات
برای اثبات اینکه r یک نگاشت پوششی است، باید نشان دهیم که هر نقطه z ∈ Z دارای یک همسایگی باز U است که به‌طور یکنواخت توسط r پوشانده می‌شود.
1. چون q : X → Z یک نگاشت پوششی است، برای نقطه z ∈ Z همسایگی بازی مانند U وجود دارد که q آن را به‌طور یکنواخت می‌پوشاند. یعنی:
q−1(U) = ⋃α∈A Vα
که در آن هر Vα یک مجموعه باز در X است و نگاشت q|Vα : Vα → U یک هومئومورفیسم است.
2. اکنون برای هر Vα، چون p : X̃ → X نیز یک نگاشت پوششی است، p این مجموعه را به‌طور یکنواخت می‌پوشاند. بنابراین:
p−1(Vα) = ⋃β∈Bα Wα,β
که در آن هر Wα,β یک مجموعه باز در X̃ است و نگاشت p|Wα,β : Wα,β → Vα یک هومئومورفیسم است.
3. حال نگاشت r را روی r−1(U) بررسی می‌کنیم:
r−1(U) = p−1(q−1(U)) = p−1(⋃α Vα) = ⋃α p−1(Vα) = ⋃α,β Wα,β
هر Wα,β تحت نگاشت p به Vα نگاشته می‌شود و Vα تحت q به U نگاشته می‌شود. چون هر دو نگاشت محدود شده، هومئومورفیسم هستند، ترکیب آنها یعنی:
r|Wα,β : Wα,β → U
نیز یک هومئومورفیسم است. بنابراین U به‌طور یکنواخت توسط r پوشانده می‌شود و r یک نگاشت پوششی است.
منبع: یادداشت‌های توپولوژی جبری
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.