پست ۱۳: خودریختی‌های پوشش در گروه‌های توپولوژیک
در این نوشته می‌خواهیم یکی از زیباترین پیوندهای میان توپولوژی و جبر را بررسی کنیم: رابطهٔ میان پوشش‌های گروه‌های توپولوژیک و خودریختی‌های پوشش.
به نظر می‌رسد در دست‌نوشتهٔ مورد نظر، نگاشتی از نوع یک همریختی پیوسته میان گروه‌های توپولوژیک در نظر گرفته شده است:
p : G~ -> G
و فرض می‌شود که این نگاشت، از دید توپولوژیکی، یک پوشش از فضای G باشد.
یعنی هر نقطه از G دارای همسایگی‌ای است که پیش‌تصویر آن در G~ به صورت اجتماع جدا از همِ چند ناحیهٔ همریخت با آن همسایگی ظاهر می‌شود.
این تصویر شهودی را می‌توان چنین فهمید: فضای G~ چند «لایه» روی G دارد و نگاشت p هر نقطه از لایه‌ها را روی نقطهٔ متناظر در G می‌فرستد.
فیبر یک نقطه
برای هر x در G، مجموعهٔ تمام نقاطی از G~ که به x فرستاده می‌شوند، فیبر x نامیده می‌شود:
p^(-1)(x) = { g~ in G~ | p(g~) = x }
این مجموعه نشان می‌دهد که یک نقطه در فضای پایه، چند نمایش مختلف در فضای پوششی دارد.
خودریختی پوشش چیست؟
خودریختی پوشش، نگاشتی از فضای پوششی به خودش است که با نگاشت پوششی سازگار بماند. یعنی اگر
phi : G~ -> G~
یک خودریختی پوشش باشد، باید داشته باشیم:
p o phi = p
این شرط می‌گوید که phi نقاط را فقط درون لایه‌های پوشش جابه‌جا می‌کند و تصویر نهایی روی G تغییر نمی‌کند.
به این نگاشت‌ها گاهی «تبدیلات دِک» نیز گفته می‌شود.
هستهٔ نگاشت و نقش آن
از آنجا که p یک همریختی گروهی است، می‌توان هستهٔ آن را در نظر گرفت:
K = ker(p) = { g~ in G~ | p(g~) = e }
که در آن e عضو همانی گروه G است.
هسته دقیقاً شامل عناصری از G~ است که روی عضو همانی در G می‌افتند.
این مجموعه فقط یک زیرمجموعه نیست، بلکه یک زیرگروه از G~ است. در واقع، بخش مهمی از تقارن پوشش از همین زیرگروه به‌دست می‌آید.
ساختن خودریختی پوشش از اعضای هسته
برای هر عضو k از K، می‌توان نگاشتی از G~ به خودش تعریف کرد:
phi_k(g~) = g~ k
اگر قرارداد ضرب از سمت راست انتخاب شود، این فرمول مناسب است. در بعضی متن‌ها ممکن است از ضرب چپ استفاده شود:
phi_k(g~) = k g~
بسته به قرارداد متن، یکی از این دو انتخاب می‌شود. ایدهٔ اصلی یکی است: عضو k فضای پوششی را درون هر فیبر جابه‌جا می‌کند.
چرا phi_k با p سازگار است؟
چون p همریختی گروهی است، داریم:
p(phi_k(g~)) = p(g~ k) = p(g~) p(k)
اما چون k در هسته است، داریم:
p(k) = e
پس:
p(phi_k(g~)) = p(g~)
بنابراین:
p o phi_k = p
و در نتیجه phi_k یک خودریختی پوشش است.
تعریف نگاشت از هسته به گروه خودریختی‌ها
اکنون می‌توان نگاشتی طبیعی تعریف کرد:
Theta : K -> A(G~, p)
Theta(k) = phi_k
که در آن A(G~, p) گروه تمام خودریختی‌های پوشش است.
چرا این نگاشت یک همریختی است؟
اگر k1 و k2 در K باشند، آن‌گاه:
Theta(k1 k2) = phi_(k1 k2)
و از طرف دیگر:
phi_k1 o phi_k2 = phi_(k1 k2)
البته بسته به قرارداد ضرب چپ یا راست، ممکن است ترتیب کمی تغییر کند. اما در هر حال، نگاشت Theta با عمل گروهی سازگار است.
چرا این نگاشت یک‌به‌یک است؟
اگر:
phi_k = id
باشد، برای هر g~ خواهیم داشت:
g~ k = g~
در نتیجه:
k = e~
یعنی فقط عضو همانیِ G~ به خودریختی همانی می‌انجامد. پس Theta تزریقی است.
چرا این نگاشت پوشا است؟
ایدهٔ اصلی این است که هر خودریختی پوشش، با دانستن تصویر یک نقطه، به‌طور کامل تعیین می‌شود. به‌ویژه اگر عضو همانی e~ در G~ را در نظر بگیریم، هر خودریختی پوشش مقدار آن را به عضوی از فیبر
p^(-1)(e)
می‌فرستد.
اما این فیبر همان هستهٔ p است. پس هر خودریختی پوشش از یک عضو k در K به‌دست می‌آید.
در نتیجه، هر عضو A(G~, p) از صورت phi_k است و Theta پوشاست.
نتیجهٔ نهایی
پس نگاشت
k -> phi_k
یک ایزومرفیسم میان هستهٔ p و گروه خودریختی‌های پوشش برقرار می‌کند:
K ~= A(G~, p)
این نتیجه بسیار مهم است، چون نشان می‌دهد تقارن‌های پوشش فقط پدیده‌ای توپولوژیک نیستند، بلکه مستقیماً از ساختار جبری نگاشت پوششی نیز به‌دست می‌آیند.
تفسیر شهودی
هستهٔ p لایه‌های روی عضو همانی را توصیف می‌کند، و هر عضو آن یک جابه‌جایی منظم روی کل پوشش می‌سازد. بنابراین، تقارن‌های پوشش در واقع همان «حرکت‌های داخلی» ناشی از هسته‌اند.
این نقطه یکی از جاهایی است که جبر و توپولوژی به‌زیبایی کاملاً بر هم منطبق می‌شوند.
جمع‌بندی
اگر یک همریختی پیوستهٔ گروه‌های توپولوژیک هم‌زمان یک نگاشت پوششی نیز باشد، آن‌گاه گروه خودریختی‌های پوشش با هستهٔ آن همریخت است. این نتیجه ابزار مهمی برای فهم پوشش‌های گروهی، فضاهای همگن و حتی برخی ساختارهای هندسهٔ دیفرانسیل و توپولوژی جبری است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.