ریاضیات

پست ۹: کاربرد رسم شکل در فهم رابطه، افراز و نگاشت بین مجموعه‌ها

بسیاری از مفاهیم مربوط به مجموعه‌ها، رابطه‌ها و نگاشت‌ها در ابتدا انتزاعی به نظر می‌رسند. رسم نمودار می‌تواند این مفاهیم را از حالت نمادین خارج کند و ساختار پنهان آن‌ها را آشکار سازد.

برای نمایش یک مجموعه، معمولاً از یک ناحیهٔ بسته مانند دایره یا بیضی استفاده می‌شود. عناصر مجموعه درون آن قرار می‌گیرند. اگر دو مجموعه داشته باشیم، می‌توان با دو دایرهٔ هم‌پوشان یا جدا، اشتراک و اجتماع آن‌ها را نشان داد.

اگر P و N دو مجموعه باشند، بخش مشترک دو ناحیه نمایانگر اشتراک آن‌ها است:

P ∩ N

هرچه ناحیهٔ اشتراک بزرگ‌تر باشد، هم‌پوشانی دو مجموعه بیشتر است. اگر دو دایره کاملاً جدا باشند، اشتراک تهی است:

P ∩ N = ∅

برای نمایش رابطه میان عناصر، می‌توان از نقاط و پیکان‌ها استفاده کرد. هر نقطه نمایندهٔ یک عنصر است و هر پیکان از x به y نشان می‌دهد:

x R y

این نوع نمایش، به‌ویژه هنگامی مفید است که رابطه متقارن یا جهت‌دار باشد. در رابطهٔ متقارن، معمولاً اگر x به y متصل باشد، y نیز به x متصل است. در رابطهٔ جهت‌دار، جهت پیکان معنا دارد.

افراز مجموعه نیز به‌سادگی با رسم چند ناحیهٔ جدا درون یک ناحیهٔ بزرگ‌تر نمایش داده می‌شود. ناحیهٔ بزرگ مجموعهٔ اصلی A و ناحیه‌های کوچک‌تر بخش‌های افراز هستند.

در نمودار یک افراز، دو نکته باید دیده شود:

• تمام عناصر A باید در یکی از بخش‌ها قرار گرفته باشند.
• هیچ عنصر نباید هم‌زمان در دو بخش متفاوت قرار گیرد.

نگاشت میان دو مجموعه نیز با دو ستون از عناصر و پیکان‌هایی میان آن‌ها نمایش داده می‌شود. اگر هر عضو مجموعهٔ اول دقیقاً به یک عضو از مجموعهٔ دوم پیکان داشته باشد، با یک تابع روبه‌رو هستیم.

جمع‌بندی: شکل‌ها جای تعریف دقیق را نمی‌گیرند، اما فهم اولیه و شهودی را بسیار آسان می‌کنند. نمودار ون برای مجموعه‌ها، گراف جهت‌دار برای رابطه‌ها و پیکان‌ها برای نگاشت‌ها ابزارهای تصویری مهمی هستند.