پست ۴: مفهوم همسایگی یک عنصر نسبت به یک رابطه
در بسیاری از ساختارهای ریاضی، برای هر عنصر می‌توان مجموعه‌ای از عناصر مرتبط با آن را در نظر گرفت. این مجموعه را، بسته به زمینه، «همسایگی» عنصر می‌نامند.
فرض کنید R رابطه‌ای روی مجموعهٔ A باشد. همسایگی خروجیِ عنصر x را می‌توان چنین تعریف کرد:
N(x) = { y ∈ A | x R y }
این تعریف می‌گوید N(x) شامل تمام عناصری است که از دید رابطهٔ R به x متصل‌اند.
برای مثال، مجموعهٔ زیر را در نظر بگیرید:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
رابطه را چنین تعریف می‌کنیم: x با y رابطه دارد هرگاه x مقسوم‌علیه y باشد. در این صورت همسایگی 2 برابر است با:
N(2) = {2, 4, 6}
زیرا 2 خودش و نیز 4 و 6 را تقسیم می‌کند.
در بعضی مسائل، همسایگی ورودی نیز تعریف می‌شود:
N-1(x) = { y ∈ A | y R x }
این بار، مجموعه شامل تمام عناصری است که به x وصل می‌شوند. در مثال بخش‌پذیری، همسایگی ورودی 6 عبارت است از:
N-1(6) = {1, 2, 3, 6}
چون این اعداد، مقسوم‌علیه‌های 6 هستند.
مفهوم همسایگی در نظریهٔ گراف، شبکه‌های اجتماعی، تحلیل داده، الگوریتم‌های جست‌وجو و حتی مدل‌سازی سامانه‌های فیزیکی کاربرد دارد. در یک شبکهٔ اجتماعی، همسایگی یک فرد می‌تواند مجموعهٔ دوستان مستقیم او باشد. در یک گراف حمل‌ونقل، همسایگی یک شهر می‌تواند شهرهای دارای مسیر مستقیم به آن باشد.
جمع‌بندی: همسایگی یک عنصر، نمایی محلی از ساختار کلی رابطه است. با بررسی همسایگی‌ها می‌توان فهمید هر عنصر با چه بخش‌هایی از مجموعه ارتباط دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.