ریاضیات

ساخت‌پذیری چندضلعی‌های منتظم

یک پرسش کلاسیک هندسه این است که برای چه اعدادی n می‌توان یک n-ضلعی منتظم را تنها با خط‌کش و پرگار ساخت.

مختصات رأس‌های یک n-ضلعی منتظم با ریشه‌های n-ام واحد پیوند دارند.

ریشهٔ اصلی n-ام واحد را معمولاً به شکل زیر می‌نویسند:

zeta_n = e^{2pi i / n}

میدان حاصل از افزودن این ریشه به اعداد گویا، میدان سیکلوتومیک نام دارد و به صورت Q(zeta_n) نوشته می‌شود.

گاؤس نشان داد که یک n-ضلعی منتظم با خط‌کش و پرگار ساخت‌پذیر است اگر و تنها اگر n به شکل زیر باشد:

n = 2^k x p₁ x p₂ x ... x p_r

در این فرمول، p₁ تا p_r باید اعداد اول فرمای متمایز باشند؛ یعنی اعداد اولی از شکل زیر:

p = 2^(2m) + 1

نمونه‌های مشهور اعداد اول فرما عبارت‌اند از:

3 ، 5 ، 17 ، 257 ، 65537

در نتیجه، 17-ضلعی منتظم با خط‌کش و پرگار ساخت‌پذیر است. این موضوع یکی از زیباترین کاربردهای نظریهٔ گالوا در هندسهٔ کلاسیک است.