ریاضیات

میدان ثابت و یک مثال درجهٔ دوم

برای هر زیرگروه H از گروه گالوا، میدان ثابت H شامل عناصری از میدان بزرگ‌تر است که تحت تمام اتومورفیسم‌های موجود در H تغییر نمی‌کنند.

E^H = { a in E : sigma(a) = a for every sigma in H }

مثال زیر را در نظر بگیرید:

E = Q(radic 2)    و    F = Q

گروه گالوا این بسط دو عضو دارد: نگاشت همانی، و نگاشتی که radic 2 را به منفی radic 2 می‌فرستد.

id(radic 2) = radic 2

sigma(radic 2) = -radic 2

هر عضو میدان E را می‌توان به صورت a + b radic 2 نوشت؛ که در آن a و b گویا هستند.

اگر این عضو تحت sigma ثابت بماند، باید داشته باشیم:

a + b radic 2 = a - b radic 2

پس b = 0 است. بنابراین تنها عناصر ثابت، اعداد گویا هستند.

E^H = Q

به زبان شهودی، radic 2 تحت این تقارن علامت عوض می‌کند، اما اعداد گویا ثابت باقی می‌مانند.