ریاضیات

میدان شکافت چندجمله‌ای

فرض کنید f(x) یک چندجمله‌ای با ضرایب در میدان F باشد. کوچک‌ترین میدانی که هم شامل F باشد و هم تمام ریشه‌های f(x) را در خود داشته باشد، «میدان شکافت» آن چندجمله‌ای نامیده می‌شود.

اگر ریشه‌های چندجمله‌ای را α₁ تا α_n بنامیم، میدان شکافت به صورت زیر نوشته می‌شود:

K = F(α₁, α₂, ... , α_n)

برای نمونه، چندجمله‌ای زیر را روی میدان اعداد گویا در نظر بگیرید:

x² - 2

این چندجمله‌ای در میدان Q(radic 2) می‌شکند:

x² - 2 = (x - radic 2)(x + radic 2)

میدان شکافت یک چندجمله‌ای روی میدان پایه، تا یک‌ریختی یکتا است.

نکته: میدان شکافت باید همهٔ ریشه‌های چندجمله‌ای را در خود جای دهد، نه فقط یکی از آن‌ها را.