---
## پست ۱۴۶: عناصر جبری و متعالی
```html
عناصر جبری و متعالی
فرض کنید E/F یک بسط میدان باشد. عنصری مانند α در E را روی F «جبری» می‌نامیم، هرگاه یک چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب در F وجود داشته باشد که α را ریشه کند.
f(α) = 0
اگر هیچ چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب در F، عنصر α را ریشه نکند، α را «متعالی» روی F می‌نامیم.
برای نمونه، رادیکال 2 روی میدان اعداد گویا جبری است؛ زیرا ریشهٔ چندجمله‌ای زیر است:
x2 - 2
اما عدد پی و نیز عدد e روی میدان اعداد گویا متعالی‌اند.
یک بسط میدان E/F را جبری می‌نامیم، اگر همهٔ عناصر E روی F جبری باشند.
```
---
## پست ۱۴۷: چندجمله‌ای مینیمال
```html
چندجمله‌ای مینیمال یک عنصر
اگر α روی میدان F جبری باشد، در میان همهٔ چندجمله‌ای‌های ناصفر با ضرایب در F که α را ریشه می‌کنند، یک چندجمله‌ای یکتا وجود دارد که ضریب پیشرو آن 1 و درجهٔ آن کمینه است.
این چندجمله‌ای را «چندجمله‌ای مینیمال α روی F» می‌نامیم.
چندجمله‌ای مینیمال همواره تجزیه‌ناپذیر است.
همچنین هر چندجمله‌ای با ضرایب در F که α را ریشه کند، بر چندجمله‌ای مینیمال α بخش‌پذیر است.
برای مثال، چندجمله‌ای مینیمال رادیکال 2 روی میدان اعداد گویا چنین است:
m(radic 2) = x2 - 2
اگر درجهٔ چندجمله‌ای مینیمال α برابر n باشد، درجهٔ بسط F(α) نسبت به F نیز برابر n است.
```
---
## پست ۱۴۸: میدان شکافت یک چندجمله‌ای
```html
میدان شکافت چندجمله‌ای
فرض کنید f(x) یک چندجمله‌ای با ضرایب در میدان F باشد. کوچک‌ترین میدانی که هم شامل F باشد و هم تمام ریشه‌های f(x) را در خود داشته باشد، «میدان شکافت» آن چندجمله‌ای نامیده می‌شود.
اگر ریشه‌های چندجمله‌ای را α1 تا αn بنامیم، میدان شکافت به صورت زیر نوشته می‌شود:
K = F(α1, α2, ... , αn)
برای نمونه، چندجمله‌ای زیر را روی میدان اعداد گویا در نظر بگیرید:
x2 - 2
این چندجمله‌ای در میدان Q(radic 2) می‌شکند:
x2 - 2 = (x - radic 2)(x + radic 2)
میدان شکافت یک چندجمله‌ای روی میدان پایه، تا یک‌ریختی یکتا است.
نکته: میدان شکافت باید همهٔ ریشه‌های چندجمله‌ای را در خود جای دهد، نه فقط یکی از آنها را.
```
---
## پست ۱۴۹: بستهٔ جبری یک میدان
```html
بستهٔ جبری میدان
میدانی را «جبری‌بسته» می‌نامیم اگر هر چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب آن میدان، دست‌کم یک ریشه در همان میدان داشته باشد.
به زبان دیگر، در یک میدان جبری‌بسته هر چندجمله‌ای ناصفر به حاصل‌ضرب عوامل خطی تجزیه می‌شود.
میدان اعداد مختلط، یعنی C، جبری‌بسته است. این مطلب همان محتوای قضیهٔ اساسی جبر است.
اما میدان اعداد حقیقی R و میدان اعداد گویا Q جبری‌بسته نیستند.
برای مثال، چندجمله‌ای زیر در میدان اعداد حقیقی ریشه ندارد:
x2 + 1
بستهٔ جبری یک میدان F، یک بسط جبری‌بسته از F است که معمولاً آن را با F-bar نشان می‌دهند.
```
---
## پست ۱۵۰: میدان‌های متناهی
```html
میدان‌های متناهی
میدانی که تعداد عناصرش متناهی باشد، میدان متناهی نامیده می‌شود.
هر میدان متناهی دقیقاً p به توان n عنصر دارد؛ در اینجا p یک عدد اول و n یک عدد صحیح مثبت است.
|F| = pn
برای هر توان اول، تا یک‌ریختی دقیقاً یک میدان متناهی وجود دارد. میدان متناهی با p به توان n عنصر را معمولاً با Fpn نمایش می‌دهند.
کوچک‌ترین میدان متناهی، میدان Fp است که می‌توان آن را همان اعداد صحیح به پیمانهٔ p دانست.
گروه ضربی عناصر ناصفر هر میدان متناهی، یک گروه دوری است و q - 1 عضو دارد.
بنابراین اگر a عنصری ناصفر از میدان Fq باشد، خواهیم داشت:
aq-1 = 1
میدان‌های متناهی در رمزنگاری، نظریهٔ کدها و نظریهٔ اعداد کاربردهای فراوان دارند.
```
---
## پست ۱۵۱: چندجمله‌ای‌های سیکلوتومیک
```html
چندجمله‌ای‌های سیکلوتومیک
ریشه‌های n-ام واحد، جواب‌های معادلهٔ زیر هستند:
xn - 1 = 0
ریشه‌ای که کوچک‌ترین توان مثبت آن برابر 1 باشد و این توان دقیقاً n باشد، «ریشهٔ اولیهٔ n-ام واحد» نامیده می‌شود.
چندجمله‌ای سیکلوتومیک شمارهٔ n، چندجمله‌ای‌ای است که ریشه‌هایش دقیقاً ریشه‌های اولیهٔ n-ام واحد هستند.
این چندجمله‌ای را معمولاً با Phin(x) نمایش می‌دهند.
چندجمله‌ای‌های سیکلوتومیک روی میدان اعداد گویا تجزیه‌ناپذیرند و درجهٔ Phin(x) برابر مقدار تابع اویلر در n است.
چند نمونه:
Phi1(x) = x - 1
Phi3(x) = x2 + x + 1
Phi4(x) = x2 + 1
این چندجمله‌ای‌ها در بررسی بسط‌های گالوا و مسئلهٔ رسم چندضلعی‌های منتظم با خط‌کش و پرگار اهمیت دارند.
```
---
## پست ۱۵۲: همریختی‌های میدان و الحاق عناصر
```html
همریختی‌های میدان و نگاشت‌های الحاقی
همریختی میدان، نگاشتی از یک میدان F به میدان E است که جمع و ضرب را حفظ کند.
sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b)
sigma(ab) = sigma(a)sigma(b)
هر همریختی میدان یک‌به‌یک است؛ زیرا تنها عنصری که می‌تواند به صفر برود، خود صفر است.
اگر E/F یک بسط میدان باشد، هر اتومورفیسم از E که تمام عناصر F را ثابت نگه دارد، یک اتومورفیسم روی F نامیده می‌شود.
sigma(a) = a for every a in F
اگر α ریشهٔ چندجمله‌ای مینیمال خود باشد، تصویر α تحت هر همریختی میدان نیز ریشهٔ همان چندجمله‌ای است.
پس تعداد تصویرهای ممکن برای α، از تعداد ریشه‌های چندجمله‌ای مینیمال آن بیشتر نمی‌شود.
```
---
## پست ۱۵۳: گروه گالوا
```html
گروه گالوا یک بسط میدان
فرض کنید E/F یک بسط میدان باشد. مجموعهٔ تمام اتومورفیسم‌های E که عناصر F را ثابت نگه می‌دارند، تحت ترکیب توابع یک گروه تشکیل می‌دهد.
این گروه را «گروه گالوا بسط E/F» می‌نامیم و معمولاً با Gal(E/F) نمایش می‌دهیم.
برای مثال، بسط Q(radic 2) بر روی Q را در نظر بگیرید.
این بسط دو اتومورفیسم دارد: اتومورفیسم همانی، و اتومورفیسمی که رادیکال 2 را به منفی رادیکال 2 می‌فرستد.
sigma1(radic 2) = radic 2
sigma2(radic 2) = -radic 2
پس گروه گالوا این بسط یک گروه دوری با دو عضو است.
گروه گالوا تقارن‌های جبری میان ریشه‌های یک چندجمله‌ای را ثبت می‌کند.
```
---
## پست ۱۵۴: بسط‌های نرمال و جدایی‌پذیر
```html
بسط‌های نرمال و جدایی‌پذیر
یک بسط جبری E/F را نرمال می‌نامیم اگر هر چندجمله‌ای تجزیه‌ناپذیر با ضرایب در F که دست‌کم یک ریشه در E داشته باشد، تمام ریشه‌هایش را نیز در E داشته باشد.
به بیان دیگر، اگر یک چندجمله‌ای تجزیه‌ناپذیر در یک بسط نرمال شروع به شکستن کند، باید به طور کامل در همان میدان بشکند.
یک عنصر جبری را جدایی‌پذیر می‌نامیم اگر چندجمله‌ای مینیمال آن هیچ ریشهٔ تکراری نداشته باشد.
هر بسط جبری روی یک میدان با مشخصهٔ صفر جدایی‌پذیر است. پس هر بسط متناهی از میدان اعداد گویا جدایی‌پذیر خواهد بود.
یک بسط را «گالوا» می‌نامیم اگر هم نرمال و هم جدایی‌پذیر باشد.
بسط گالوا = بسط نرمال + بسط جدایی‌پذیر
```
---
## پست ۱۵۵: قضیهٔ بنیادی نظریهٔ گالوا
```html
قضیهٔ بنیادی نظریهٔ گالوا
فرض کنید E/F یک بسط متناهی گالوا باشد و گروه گالوا آن را با G نمایش دهیم.
G = Gal(E/F)
برای هر زیرگروه H از G، میدان ثابت H را مجموعهٔ تمام عناصری از E تعریف می‌کنیم که تحت همهٔ اتومورفیسم‌های H ثابت می‌مانند.
EH = { x in E : sigma(x) = x for every sigma in H }
قضیهٔ بنیادی گالوا می‌گوید میان زیرگروه‌های G و میدان‌های میانی میان F و E یک تناظر دوسویه وجود دارد.
نکتهٔ مهم این است که این تناظر جهت شمول را برعکس می‌کند:
اگر H1 زیرگروهی از H2 باشد، آنگاه میدان ثابت H2 زیرمیدانی از میدان ثابت H1 خواهد بود.
همچنین درجهٔ بسط E نسبت به میدان ثابت H، برابر تعداد اعضای H است.
[E : EH] = |H|
این قضیه مطالعهٔ میدان‌های میانی را به مطالعهٔ زیرگروه‌های یک گروه متناهی تبدیل می‌کند؛ و همین پیوند، هستهٔ اصلی نظریهٔ گالوا است.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.