ریاضیات

طبقه‌بندی گروه‌های مرتبهٔ 2p

فرض کنید p یک عدد اول فرد باشد و G گروهی با مرتبهٔ 2p باشد.

|G| = 2p

طبق قضایای سیلو، تعداد زیرگروه‌های سیلوی p باید مقسوم‌علیه 2 و هم‌نهشت با 1 به پیمانهٔ p باشد. چون p فرد است، تنها امکان این است:

np = 1

پس زیرگروه سیلوی p نرمال است. این زیرگروه دوری و از مرتبهٔ p است.

از سوی دیگر، به کمک قضیهٔ کوشی عنصری از مرتبهٔ 2 در G وجود دارد. این عنصر بر زیرگروه دوری مرتبهٔ p با مزدوج‌سازی عمل می‌کند.

تنها دو حالت ممکن است:

• این عمل بدیهی باشد؛ در این حالت گروه جابه‌جایی‌پذیر و دوری است.
• این عمل نابدیهی باشد؛ در این حالت عنصر مرتبهٔ 2 مولد زیرگروه مرتبهٔ p را به معکوسش می‌فرستد و گروه دیهدری به دست می‌آید.

بنابراین هر گروه با مرتبهٔ 2p، برای p اول فرد، دقیقاً یکی از دو نوع زیر است:

G is isomorphic to C2p

or

G is isomorphic to Dp

در این نوشته، Dp به گروه دیهدری با مرتبهٔ 2p گفته می‌شود.