ریاضیات

کنش مزدوج‌سازی بر مجموعهٔ زیرگروه‌ها

گروه G می‌تواند بر مجموعهٔ زیرگروه‌های خودش عمل کند. این عمل از طریق مزدوج‌سازی تعریف می‌شود.

برای هر g در G و هر زیرگروه H از G، زیرگروه مزدوج H به وسیلهٔ g برابر است با:

gHg^-1 = { ghg^-1 : h in H }

این مجموعه نیز یک زیرگروه از G است. مدار H تحت این کنش، مجموعهٔ تمام مزدوج‌های H در G است.

پایدارساز H در این کنش دقیقاً نرمالایزر H است:

Stab_G(H) = N_G(H)

بنابراین از قضیهٔ مدار و پایدارساز نتیجه می‌گیریم:

number of conjugates of H = [G : N_G(H)]

در نتیجه، تعداد زیرگروه‌های مزدوج با H برابر شاخص نرمالایزر H در G است.

به ویژه، H نرمال است اگر و تنها اگر تنها یک مزدوج داشته باشد.