در ادامهٔ مجموعه، این ده پستِ شمارهٔ **۱۵۶ تا ۱۶۵** نظریهٔ گالوا را به کاربرد اصلی آن، یعنی **حلپذیری معادلات چندجملهای با رادیکالها**، پیوند میدهند.
---
## پست ۱۵۶: گروه گالوا و جایگشت ریشهها
```html
گروه گالوا به عنوان گروه جایگشت ریشهها
فرض کنید f(x)\in F[x] یک چندجملهای جداییپذیر باشد و
E میدان شکافت آن روی F باشد. هر عضو گروه گالوا
\operatorname{Gal}(E/F)، ریشههای چندجملهای f را میان خود جابهجا میکند.
اگر ریشههای f برابر باشند با:
\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,
آنگاه برای هر اتومورفیسم گالوا
\sigma، داریم:
\sigma(\alpha_i)=\alpha_j
\qquad
\text{for some }j.
بنابراین گروه گالوا را میتوان به صورت یک زیرگروه از گروه جایگشتها در نظر گرفت:
\operatorname{Gal}(E/F)\leq S_n.
البته همهٔ جایگشتهای ریشهها الزاماً از اتومورفیسمهای میدان ناشی نمیشوند. فقط آن جایگشتهایی مجازند که تمام روابط جبری میان ریشهها را حفظ کنند.
ایدهٔ اصلی:
گروه گالوا میزان تقارن جبری ریشههای یک چندجملهای را اندازه میگیرد، نه صرفاً همهٔ جابهجاییهای صوری آنها را.
```
---
## پست ۱۵۷: میدان ثابت و مثال درجهٔ دوم
```html
میدان ثابت و یک مثال درجهٔ دوم
برای هر زیرگروه
H\leq\operatorname{Gal}(E/F)،
میدان ثابت H چنین تعریف میشود:
E^H=\{a\in E:\sigma(a)=a,\ \forall\sigma\in H\}.
یعنی E^H شامل دقیقاً عناصری از میدان بزرگتر است که تحت تمام تقارنهای موجود در H تغییر نمیکنند.
مثال مهم زیر را در نظر بگیرید:
E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}),
\qquad
F=\mathbb{Q}.
گروه گالوا دو عضو دارد:
\operatorname{id}(\sqrt{2})=\sqrt{2},
\qquad
\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}.
اگر H=\{\operatorname{id},\sigma\} باشد، آنگاه هر عنصری از شکل
a+b\sqrt{2}
که تحت \sigma ثابت بماند، باید شرط زیر را ارضا کند:
a+b\sqrt{2}=a-b\sqrt{2}.
پس b=0 و در نتیجه:
E^H=\mathbb{Q}.
به بیان شهودی، عدد \sqrt{2} زیر تقارن مزدوجگیری علامت عوض میکند، اما اعداد گویا ثابت میمانند.
```
---
## پست ۱۵۸: زیرگروههای نرمال و بسطهای گالوا
```html
زیرگروههای نرمال و میدانهای میانی گالوا
فرض کنید E/F یک بسط متناهی گالوا باشد و
G=\operatorname{Gal}(E/F). برای هر میدان میانی:
F\subseteq K\subseteq E,
زیرگروه متناظر با آن برابر است با:
\operatorname{Gal}(E/K).
نسخهٔ دقیقتر قضیهٔ بنیادی گالوا میگوید:
K/F \text{ گالوا است}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Gal}(E/K)\trianglelefteq\operatorname{Gal}(E/F).
در این حالت، گروه گالوا بسط کوچکتر با خارجقسمت متناظر است:
\operatorname{Gal}(K/F)
\cong
\operatorname{Gal}(E/F)\big/\operatorname{Gal}(E/K).
پس «نرمال بودن زیرگروه» در نظریهٔ گروهها، همتای «گالوا بودن بسط میانی» در نظریهٔ میدانها است.
نکته:
هر میدان میانی لزوماً یک بسط گالوا از میدان پایه نمیسازد؛ شرط لازم و کافی، نرمال بودن زیرگروه متناظر است.
```
---
## پست ۱۵۹: زنجیرهٔ میدانها و قضیهٔ برج
```html
قضیهٔ برج برای بسط میدانها
فرض کنید سه میدان به صورت زیر درون یکدیگر قرار گرفته باشند:
F\subseteq K\subseteq E.
اگر بسطها متناهی باشند، درجهها در امتداد برج ضرب میشوند:
[E:F]=[E:K][K:F].
این رابطه را قضیهٔ برج مینامیم. برای نمونه، در برج زیر:
\mathbb{Q}
\subseteq
\mathbb{Q}(\sqrt{2})
\subseteq
\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),
داریم:
[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2,
و معمولاً با افزودن \sqrt{3} درجهای دیگر برابر ۲ به دست میآید؛ بنابراین:
[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4.
در بسطهای گالوا، قضیهٔ برج با فرمولهای شاخص زیرگروهها نیز هماهنگ است:
[G:H]=[E^H:F].
```
---
## پست ۱۶۰: بسطهای رادیکالی
```html
بسطهای رادیکالی و حل با رادیکالها
یک بسط میدان را رادیکالی مینامیم اگر بتوان آن را با الحاق پیاپی ریشههای n-ام عناصر ساخت.
به طور دقیق، زنجیرهای از میدانها از شکل زیر در نظر بگیرید:
F=F_0\subseteq F_1\subseteq\cdots\subseteq F_r,
که در هر مرحله:
F_i=F_{i-1}(\alpha_i),
\qquad
\alpha_i^{n_i}\in F_{i-1}.
در این صورت F_r/F یک بسط رادیکالی است.
میگوییم چندجملهای f(x)\in F[x] با رادیکالها حلپذیر است اگر میدان شکافت آن درون یک بسط رادیکالی از F قرار گیرد.
فرمول حل معادلهٔ درجهٔ دوم نمونهای از همین پدیده است:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
در این فرمول، ریشهها با استفاده از عملیات میدان و گرفتن ریشهٔ دوم از ضرایب ساخته میشوند.
```
---
## پست ۱۶۱: گروههای حلپذیر
```html
گروههای حلپذیر
برای یک گروه G، زیرگروه مشتق آن را با
G' یا
[G,G]
نمایش میدهیم. این زیرگروه به وسیلهٔ همهٔ جابهجاگرها تولید میشود:
[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy.
سری مشتق گروه چنین است:
G^{(0)}=G,
\qquad
G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}].
گروه G را حلپذیر مینامیم اگر برای عددی طبیعی r داشته باشیم:
G^{(r)}=\{e\}.
به طور معادل، G حلپذیر است اگر زنجیرهای از زیرگروههای نرمال داشته باشد که خارجقسمتهای متوالی آن آبلی باشند:
\{e\}=G_r\trianglelefteq G_{r-1}
\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_0=G.
هر گروه آبلی حلپذیر است. همچنین هر گروه متناهی با مرتبهٔ توانِ یک عدد اول، حلپذیر است.
```
---
## پست ۱۶۲: معیار گالوا برای حلپذیری با رادیکالها
```html
معیار گالوا برای حلپذیری با رادیکالها
پیوند بنیادی میان نظریهٔ میدانها و نظریهٔ گروهها در قضیهٔ زیر ظاهر میشود.
قضیه:
اگر f(x)\in\mathbb{Q}[x] جداییپذیر باشد، آنگاه
f با رادیکالها حلپذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوا میدان شکافت آن روی
\mathbb{Q} حلپذیر باشد.
به صورت نمادین، اگر E میدان شکافت f باشد:
f \text{ is solvable by radicals}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})
\text{ is solvable}.
این قضیه توضیح میدهد که چرا پرسشِ «آیا فرمولی با رادیکالها وجود دارد؟» در واقع پرسشی دربارهٔ ساختار یک گروه است.
درجهٔ چندجملهای به تنهایی پاسخ را تعیین نمیکند. آنچه تعیینکننده است، گروه گالوای مربوط به نحوهٔ جابهجایی ریشههاست.
```
---
## پست ۱۶۳: معادلات درجهٔ سه و گروه S_3
```html
معادلات درجهٔ سه و حلپذیری گروه S3
گروه جایگشتهای سه شیء، یعنی
S_3، دارای شش عضو است. این گروه آبلی نیست، اما حلپذیر است.
زنجیرهٔ زیر حلپذیری آن را نشان میدهد:
\{e\}\trianglelefteq A_3\trianglelefteq S_3.
خارجقسمتهای متناظر آبلی هستند:
A_3\cong C_3,
\qquad
S_3/A_3\cong C_2.
بنابراین هر زیرگروه از S_3 نیز حلپذیر است. از آنجا که گروه گالوا هر چندجملهای درجهٔ سه، زیرگروهی از
S_3 است، نتیجه میگیریم:
\text{هر معادلهٔ چندجملهای درجهٔ سه بر }\mathbb{Q}
\text{ با رادیکالها حلپذیر است.}
همین استدلال برای درجهٔ چهار نیز برقرار است؛ زیرا گروه
S_4
حلپذیر است.
```
---
## پست ۱۶۴: چرا معادلهٔ عمومی درجهٔ پنج حلپذیر نیست؟
```html
ناممکن بودن فرمول عمومی رادیکالی برای درجهٔ پنج
برای چندجملهایهای درجهٔ دو، سه و چهار فرمولهای عمومی مبتنی بر رادیکالها وجود دارند. اما از درجهٔ پنج به بعد، چنین فرمول عمومیای وجود ندارد.
علت اصلی این است که برای
n\geq5،
گروه متقارن S_n حلپذیر نیست.
به طور ویژه، گروه متناوب A_5 یک گروه سادهٔ ناآبلی است. از آنجا که:
A_5\trianglelefteq S_5,
و A_5 ناآبلی و ساده است، گروه
S_5
نمیتواند حلپذیر باشد.
بنابراین اگر یک چندجملهای درجهٔ پنج گروه گالوایی همریخت با
S_5
داشته باشد، با رادیکالها حلپذیر نیست:
\operatorname{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong S_5
\Longrightarrow
f \text{ is not solvable by radicals}.
نکتهٔ مهم آن است که این نتیجه نمیگوید «هیچ معادلهٔ درجهٔ پنجی حلپذیر نیست»؛ بلکه میگوید فرمول عمومی برای تمام معادلات درجهٔ پنج با رادیکالها وجود ندارد.
```
---
## پست ۱۶۵: چندضلعیهای منتظم و بسطهای سیکلوتومیک
```html
ساختپذیری چندضلعیهای منتظم
یک پرسش کلاسیک هندسه این است: برای چه اعدادی n میتوان چندضلعی منتظم
n-ضلعی را تنها با خطکش و پرگار ساخت؟
مختصات رأسهای یک n-ضلعی منتظم با ریشههای n-ام واحد پیوند دارند:
\zeta_n=e^{2\pi i/n}.
میدان متناظر، میدان سیکلوتومیک زیر است:
\mathbb{Q}(\zeta_n).
گاؤس نشان داد که n-ضلعی منتظم با خطکش و پرگار ساختپذیر است اگر و تنها اگر:
n=2^k p_1p_2\cdots p_r,
که در آن p_1,\ldots,p_r اعداد اول فرما و متمایز هستند؛ یعنی اعدادی از شکل:
p=2^{2^m}+1.
نمونههای معروف اعداد اول فرما عبارتاند از:
3,\ 5,\ 17,\ 257,\ 65537.
در نتیجه، ۱۷-ضلعی منتظم ساختپذیر است. این نتیجه یکی از زیباترین کاربردهای نظریهٔ گالوا در هندسهٔ کلاسیک به شمار میآید.
```
درست است. برای بلاگفا بهتر است فرمولها کاملاً به نوشتار سادهٔ HTML تبدیل شوند: بدون LaTeX، بدون نمادهایی مانند `\subseteq` و `\operatorname`، و بدون وابستگی به MathJax.
نسخههای زیر آمادهٔ کپی مستقیم در بخش **«ارسال مطلب جدید» بلاگفا** هستند.
---
## پست ۱۵۶: گروه گالوا و جایگشت ریشهها
```html
گروه گالوا به عنوان گروه جایگشت ریشهها
فرض کنید f(x) یک چندجملهای جداییپذیر با ضرایب در میدان F باشد و E میدان شکافت آن روی F باشد.
هر عضو گروه گالوا، ریشههای چندجملهای f را میان خود جابهجا میکند.
اگر ریشههای f را به صورت α1 ، α2 ، ... ، αn بنویسیم، هر اتومورفیسم گالوا یک ریشه را به یکی دیگر از همین ریشهها میفرستد:
sigma(αi) = αj
پس گروه گالوا را میتوان زیرگروهی از گروه جایگشتهای n شیء دانست؛ یعنی زیرگروهی از Sn.
اما همهٔ جایگشتهای ریشهها لزوماً از اتومورفیسمهای میدان به دست نمیآیند. فقط جایگشتهایی مجاز هستند که همهٔ رابطههای جبری میان ریشهها را حفظ کنند.
ایدهٔ اصلی:
گروه گالوا میزان تقارن جبری ریشههای یک چندجملهای را اندازه میگیرد، نه صرفاً همهٔ جابهجاییهای ظاهری آنها را.
```
---
## پست ۱۵۷: میدان ثابت و مثال درجهٔ دوم
```html
میدان ثابت و یک مثال درجهٔ دوم
برای هر زیرگروه H از گروه گالوا، میدان ثابت H شامل عناصری از میدان بزرگتر است که تحت تمام اتومورفیسمهای موجود در H تغییر نمیکنند.
EH = { a in E : sigma(a) = a for every sigma in H }
مثال زیر را در نظر بگیرید:
E = Q(radic 2) و F = Q
گروه گالوا این بسط دو عضو دارد: نگاشت همانی، و نگاشتی که radic 2 را به منفی radic 2 میفرستد.
id(radic 2) = radic 2
sigma(radic 2) = -radic 2
هر عضو میدان E را میتوان به صورت a + b radic 2 نوشت؛ که در آن a و b گویا هستند.
اگر این عضو تحت sigma ثابت بماند، باید داشته باشیم:
a + b radic 2 = a - b radic 2
پس b = 0 است. بنابراین تنها عناصر ثابت، اعداد گویا هستند.
EH = Q
به زبان شهودی، radic 2 تحت این تقارن علامت عوض میکند، اما اعداد گویا ثابت باقی میمانند.
```
---
## پست ۱۵۸: زیرگروههای نرمال و بسطهای گالوا
```html
زیرگروههای نرمال و میدانهای میانی گالوا
فرض کنید E/F یک بسط متناهی گالوا باشد و G گروه گالوای آن باشد.
برای هر میدان میانی K، یعنی میدانی که میان F و E قرار گرفته است، زیرگروه متناظر برابر با Gal(E/K) خواهد بود.
نسخهٔ دقیقتر قضیهٔ بنیادی گالوا میگوید:
بسط K/F گالوا است اگر و تنها اگر زیرگروه Gal(E/K) در گروه Gal(E/F) نرمال باشد.
در این حالت، گروه گالوا بسط K/F از خارجقسمت گروه بزرگتر به دست میآید:
Gal(K/F) ~= Gal(E/F) / Gal(E/K)
پس نرمالبودن یک زیرگروه در نظریهٔ گروهها، همتای گالوا بودن یک بسط میانی در نظریهٔ میدانهاست.
نکته:
هر میدان میانی لزوماً یک بسط گالوا از میدان پایه نمیسازد. شرط لازم و کافی، نرمالبودن زیرگروه متناظر است.
```
---
## پست ۱۵۹: زنجیرهٔ میدانها و قضیهٔ برج
```html
قضیهٔ برج برای بسط میدانها
فرض کنید سه میدان به صورت زیر درون یکدیگر قرار گرفته باشند:
F <= K <= E
اگر بسطها متناهی باشند، درجهها در امتداد این برج ضرب میشوند:
[E : F] = [E : K] x [K : F]
این رابطه را قضیهٔ برج مینامیم.
برای نمونه، برج زیر را در نظر بگیرید:
Q <= Q(radic 2) <= Q(radic 2, radic 3)
درجهٔ Q(radic 2) نسبت به Q برابر 2 است. همچنین با الحاق radic 3 معمولاً یک درجهٔ دیگر برابر 2 اضافه میشود.
بنابراین:
[Q(radic 2, radic 3) : Q] = 4
در بسطهای گالوا، قضیهٔ برج با شاخص زیرگروهها نیز هماهنگ است.
```
---
## پست ۱۶۰: بسطهای رادیکالی
```html
بسطهای رادیکالی و حل با رادیکالها
یک بسط میدان را رادیکالی مینامیم اگر بتوان آن را با الحاق پیاپی ریشههای n-ام عناصر ساخت.
به بیان ساده، از میدان پایه شروع میکنیم و در هر مرحله ریشهای مانند ریشهٔ دوم، سوم یا n-امِ یکی از عناصر میدان قبلی را به میدان اضافه میکنیم.
چنین زنجیرهای به صورت زیر نمایش داده میشود:
F = F0 <= F1 <= ... <= Fr
در هر مرحله، Fi با افزودن عنصری مانند αi ساخته میشود که یک توان مثبت از آن در میدان قبلی قرار دارد.
میگوییم یک چندجملهای با رادیکالها حلپذیر است، اگر تمام ریشههای آن را بتوان در چنین بسطی به دست آورد.
فرمول حل معادلهٔ درجهٔ دوم نمونهای آشنا از این پدیده است:
x = (-b +/- radic(b2 - 4ac)) / 2a
در این فرمول، ریشهها با استفاده از عملیات معمول میدان و گرفتن ریشهٔ دوم از عبارتِ زیر رادیکال ساخته میشوند.
```
---
## پست ۱۶۱: گروههای حلپذیر
```html
گروههای حلپذیر
برای یک گروه G، زیرگروه مشتق آن را با G' یا [G,G] نمایش میدهند.
این زیرگروه به وسیلهٔ همهٔ جابهجاگرها تولید میشود. جابهجاگر دو عنصر x و y به صورت زیر است:
[x,y] = x-1 y-1 x y
سری مشتق گروه از خود G آغاز میشود و در هر مرحله زیرگروه مشتق مرحلهٔ پیشین را میگیریم.
گروه G را حلپذیر مینامیم اگر پس از تعداد متناهی مرحله، سری مشتق آن به گروه همانی برسد.
به زبان دیگر، G حلپذیر است اگر زنجیرهای از زیرگروههای نرمال داشته باشد که خارجقسمتهای متوالی آن آبلی باشند.
هر گروه آبلی حلپذیر است. همچنین هر گروه متناهی که مرتبهاش توانی از یک عدد اول باشد، حلپذیر است.
```
---
## پست ۱۶۲: معیار گالوا برای حلپذیری با رادیکالها
```html
معیار گالوا برای حلپذیری با رادیکالها
پیوند اصلی میان نظریهٔ میدانها و نظریهٔ گروهها در قضیهٔ گالوا برای حلپذیری با رادیکالها ظاهر میشود.
اگر f(x) یک چندجملهای جداییپذیر با ضرایب گویا باشد، آنگاه f با رادیکالها حلپذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوا میدان شکافت آن روی Q یک گروه حلپذیر باشد.
به زبان ساده، امکان نوشتن ریشهها با جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و رادیکالها، دقیقاً با حلپذیر بودن گروه گالوا ارتباط دارد.
پس پرسشِ «آیا برای ریشهها فرمول رادیکالی وجود دارد؟» در اصل پرسشی دربارهٔ ساختار گروه گالواست.
درجهٔ چندجملهای به تنهایی پاسخ را تعیین نمیکند. عامل اصلی، گروه گالوایی است که نحوهٔ جابهجایی ریشهها را توصیف میکند.
```
---
## پست ۱۶۳: معادلات درجهٔ سه و گروه S3
```html
معادلات درجهٔ سه و حلپذیری گروه S3
گروه جایگشتهای سه شیء، یعنی S3، شش عضو دارد.
این گروه آبلی نیست، اما حلپذیر است.
زیرگروه جایگشتهای زوج، یعنی A3، یک زیرگروه نرمال از S3 است.
A3 سه عضو دارد و یک گروه دوری است. خارجقسمت S3 بر A3 نیز گروهی با دو عضو است.
پس میتوان S3 را با زنجیرهای از خارجقسمتهای آبلی تحلیل کرد؛ بنابراین S3 حلپذیر است.
گروه گالوا هر چندجملهای درجهٔ سه، زیرگروهی از S3 است. چون زیرگروههای یک گروه حلپذیر نیز حلپذیرند، هر معادلهٔ چندجملهای درجهٔ سه با ضرایب گویا با رادیکالها حلپذیر است.
استدلال مشابهی برای معادلات درجهٔ چهار هم برقرار است؛ زیرا S4 نیز حلپذیر است.
```
---
## پست ۱۶۴: چرا معادلهٔ عمومی درجهٔ پنج حلپذیر نیست؟
```html
ناممکن بودن فرمول عمومی رادیکالی برای درجهٔ پنج
برای چندجملهایهای درجهٔ دو، سه و چهار، فرمولهای عمومی با استفاده از رادیکالها وجود دارد.
اما از درجهٔ پنج به بعد، هیچ فرمول عمومیای که تمام معادلات را فقط با اعمال جبری و رادیکالها حل کند، وجود ندارد.
علت اصلی این است که گروه متقارن Sn برای n بزرگتر یا مساوی 5 حلپذیر نیست.
بهویژه، گروه A5 یک گروه ساده و ناآبلی است. این گروه یک زیرگروه نرمال از S5 است.
وجود یک زیرگروه سادهٔ ناآبلی در ساختار S5 نشان میدهد که S5 حلپذیر نیست.
بنابراین، اگر گروه گالوا یک چندجملهای درجهٔ پنج با S5 یکریخت باشد، آن چندجملهای با رادیکالها حلپذیر نخواهد بود.
نکتهٔ مهم:
این نتیجه نمیگوید هیچ معادلهٔ درجهٔ پنجی حلپذیر نیست؛ بلکه میگوید یک فرمول رادیکالی عمومی برای همهٔ معادلات درجهٔ پنج وجود ندارد.
```
---
## پست ۱۶۵: چندضلعیهای منتظم و بسطهای سیکلوتومیک
```html
ساختپذیری چندضلعیهای منتظم
یک پرسش کلاسیک هندسه این است که برای چه اعدادی n میتوان یک n-ضلعی منتظم را تنها با خطکش و پرگار ساخت.
مختصات رأسهای یک n-ضلعی منتظم با ریشههای n-ام واحد پیوند دارند.
ریشهٔ اصلی n-ام واحد را معمولاً به شکل زیر مینویسند:
zetan = e2pi i / n
میدان حاصل از افزودن این ریشه به اعداد گویا، میدان سیکلوتومیک نام دارد و به صورت Q(zetan) نوشته میشود.
گاؤس نشان داد که یک n-ضلعی منتظم با خطکش و پرگار ساختپذیر است اگر و تنها اگر n به شکل زیر باشد:
n = 2k x p1 x p2 x ... x pr
در این فرمول، p1 تا pr باید اعداد اول فرمای متمایز باشند؛ یعنی اعداد اولی از شکل زیر:
p = 2(2m) + 1
نمونههای مشهور اعداد اول فرما عبارتاند از:
3 ، 5 ، 17 ، 257 ، 65537
در نتیجه، 17-ضلعی منتظم با خطکش و پرگار ساختپذیر است. این موضوع یکی از زیباترین کاربردهای نظریهٔ گالوا در هندسهٔ کلاسیک است.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.