ریاضیات

جمع‌بندی: از کنش مزدوج‌سازی تا معادلهٔ کلاسی

کنش مزدوج‌سازی گروه G بر خودش، پیوندی اساسی میان نظریهٔ کنش‌ها و ساختار درونی گروه برقرار می‌کند.

مدار عنصر x در این کنش، کلاس مزدوجی

ClG(x) است.

پایاگر عنصر x، مرکزی‌ساز

CG(x) است.

عناصر با کلاس مزدوجی تک‌عضوی، دقیقاً عناصر مرکز

Z(G) هستند.

اندازهٔ کلاس مزدوجی از رابطهٔ

|ClG(x)| = [G:CG(x)]

به دست می‌آید.

سرانجام، افراز گروه به کلاس‌های مزدوجی به معادلهٔ کلاسی می‌انجامد:

|G| = |Z(G)| + Σi=1r [G:CG(xi)]

این معادله به‌ویژه در مطالعهٔ گروه‌های p-ای، مرکز گروه و زیرگروه‌های نرمال نقش بنیادی دارد.