ریاضیات

افرازهای عدد ۶ و تعیین کلاس‌های مزدوج در S₆

همان‌طور که در قضایای ساختار دوری بیان شده است، دو جایگشت در S_n مزدوج یکدیگرند اگر و تنها اگر ساختار دوری یکسانی داشته باشند. بنابراین تعداد کلاس‌های مزدوج S_n دقیقاً برابر با تعداد افرازهای عددی n است.

۱. لیست ۱۱ افراز عدد ۶

برای n = 6، عدد ۶ دارای ۱۱ افراز مجزا است؛ در نتیجه S₆ دقیقاً دارای ۱۱ کلاس مزدوج است:

1. 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 → کلاس عضو همانی (1)
2. 6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 → ترانهشت‌ها (a b)
3. 6 = 2 + 2 + 1 + 1 → حاصل‌ضرب دو ترانهشت مجزا (a b)(c d)
4. 6 = 2 + 2 + 2 → حاصل‌ضرب سه ترانهشت مجزا (a b)(c d)(e f)
5. 6 = 3 + 1 + 1 + 1 → دورهای ۳تایی (a b c)
6. 6 = 3 + 2 + 1 → ترکیب دور ۳تایی و ۲تایی (a b c)(d e)
7. 6 = 3 + 3 → حاصل‌ضرب دو دور ۳تایی مجزا (a b c)(d e f)
8. 6 = 4 + 1 + 1 → دورهای ۴تایی (a b c d)
9. 6 = 4 + 2 → ترکیب دور ۴تایی و ۲تایی (a b c d)(e f)
10. 6 = 5 + 1 → دورهای ۵تایی (a b c d e)
11. 6 = 6 → دورهای ۶تایی (a b c d e f)

۲. نمونه‌ای از مزدوج‌سازی در S₆

اگر یک جایگشت مرکب مانند σ = (1 2)(3 4 5 6) داشته باشیم و بخواهیم آن را توسط عنصر x ∈ S₆ مزدوج کنیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:

این نمونه نشان می‌دهد که ساختار دوری عنصر مزدوج‌شده (یک ترانهشت و یک دور ۴تایی مجزا) دقیقاً حفظ می‌شود.