ریاضیات

بررسی زیرگروه‌های نرمال و سادگی A₅

فرض کنید N یک زیرگروه نرمال در A₅ باشد. می‌دانیم که هر زیرگروه نرمال باید از اتحاد کلاس‌های مزدوج کامل تشکیل شده باشد و مرتبه آن (یعنی |N|) باید مقسوم‌علیه مرتبه گروه باشد.

بنابراین |N| باید عددی باشد که از جمع عدد ۱ (عضو همانی) با تعدادی از مقادیر {15, 20, 12, 12} به دست بیاید، به طوری که حاصل‌جمع، عدد 60 را عاد کند.

بررسی حالات ممکن برای |N|:

• اگر |N| = 1 + 15 = 16 (بر ۶۰ بخش‌پذیر نیست)
• اگر |N| = 1 + 20 = 21 (بر ۶۰ بخش‌پذیر نیست)
• اگر |N| = 1 + 12 = 13 (بر ۶۰ بخش‌پذیر نیست)
• اگر |N| = 1 + 12 + 12 = 25 (بر ۶۰ بخش‌پذیر نیست)
• اگر |N| = 1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60 (زیرگروه بدیهی خود گروه)

تنها حالاتی که |N| مقسوم‌علیه ۶۰ می‌شود، |N| = 1 و |N| = 60 است. این نتیجه نشان می‌دهد که گروه A₅ هیچ زیرگروه نرمال غیربدیهی ندارد.

در یادداشت‌ها ذکر شده است که این موضوع برای n ≥ 5 برقرار است و گروه‌های متناوب در این رده همگی ساده هستند.