ریاضیات

شکافت کلاس‌های مزدوج در A_n

در این یادداشت، رابطهٔ کلاس‌های مزدوج در S_n و A_n بررسی می‌شود.

اگر x ∈ A_n باشد، آنگاه کلاس مزدوج x در گروه S_n به دو کلاس مزدوج در A_n می‌شکند:

[x]_Sn = [x]_An ∪ [x^{(1 2)}]_An

و در این حالت:

[x]_An ≠ [x^{(1 2)}]_An

به بیان دیگر، مزدوج‌بودن در S_n لزوماً به مزدوج‌بودن در A_n منجر نمی‌شود، و ممکن است یک کلاس در A_n به دو کلاس جدا تبدیل شود.

نمونه‌ها

(1 2 3),   (1 2)(3 4),   (1 2 3 4 5)

در یادداشت آمده است که برای نمونه، کلاس‌های مربوط به دورهای ۳تایی و ۵تایی در A_n رفتار متفاوتی دارند و باید با دقت بررسی شوند.

نتیجه

بنابراین برای x ∈ A_n، وضعیت کلاس مزدوج x در S_n و A_n می‌تواند متفاوت باشد، و گاهی داریم:

S_n = A_n ∪ (i j)A_n   (i ≠ j)

یعنی S_n به دو هم‌دستهٔ زوج و فرد نسبت به A_n تجزیه می‌شود.