قضیه لگرانژ، مرتبه عناصر و کلاس‌های مزدوج در Sn و An
در نظریه گروه‌ها، یکی از بنیادی‌ترین قضایا در بررسی گروه‌های متناهی، قضیه لگرانژ است. این قضیه رابطه‌ای مستقیم بین مرتبه یک گروه و مرتبه زیرگروه‌های آن برقرار می‌کند.
قضیه (قضیه لگرانژ):
اگر G یک گروه متناهی باشد و H زیرگروهی از G باشد (H ≤ G)، آن‌گاه مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند (قسم می‌کند).
|H| | |G|
نتیجه قضیه لگرانژ برای مرتبه عناصر
از قضیه لگرانژ می‌توان نتیجه گرفت که مرتبه هر عنصر در یک گروه متناهی نیز، مرتبه خودِ گروه را عاد می‌کند:
نتیجه:
اگر G یک گروه متناهی باشد و a ∈ G، آن‌گاه مرتبه عنصر a (یعنی o(a)) مرتبه G را عاد می‌کند:
o(a) | |G|
همچنین برای هر عنصر a در گروه متناهی G، عبارت زیر همواره برقرار است:
a|G| = e
(که در آن e عضو همانی گروه G است).
کلاس‌های مزدوج در گروه‌های Sn و An
در بخش بعدی یادداشت‌ها، کلاس‌های مزدوج در گروه متقارن Sn و گروه متناوب An مورد بررسی قرار گرفته‌اند:
گروه متناوب An همواره یک زیرگروه نرمال در گروه متقارن Sn است (با اندیس ۲).
گروه متناوب A5 یک گروه ساده (Simple Group) است، به این معنی که هیچ زیرگروه نرمال غیربدیهی ندارد.
دستور مزدوجی در Sn: دو جایگشت در گروه متقارن Sn با هم مزدوج هستند اگر و تنها اگر ساختار دورهای (Cycle Structure) یکسانی داشته باشند.
جمع‌بندی:
بنابراین کلاس‌های مزدوج در Sn کاملاً با افرازهای عدد n (نحوه تجزیه به دورهای مجزا) مشخص می‌شوند. اما در An، به دلیل نرمال بودن و زوج بودن جایگشت‌ها، برخی کلاس‌های مزدوج Sn ممکن است شکافته شوند یا تغییر رفتار دهند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.