ریاضیات

مسئله ۵۰ - بخش ۵: فرمول نهایی و تفسیر آن

از رابطه‌ی

|G| = 1 + |G|/|C_G(x₁)| + |G|/|C_G(x₂)| + ... + |G|/|C_G(x_r)|

اگر دو طرف را بر |G| تقسیم کنیم، به فرمول نهایی می‌رسیم:

1 = 1/|G| + 1/|C_G(x₁)| + 1/|C_G(x₂)| + ... + 1/|C_G(x_r)|

این فرمول نشان می‌دهد که از تجزیه‌ی گروه به کلاس‌های مزدوج، یک رابطه‌ی عددی مهم میان

اندازه‌ی گروه و اندازه‌ی مرکزی‌سازها به دست می‌آید.

چون هر C_G(x_i) یک زیرگروه از G است، اندازه‌ی آن باید مقسوم‌علیه |G| باشد.

به همین دلیل این فرمول محدودیت‌های قوی‌ای بر ساختار گروه تحمیل می‌کند.

پس ایده‌ی اصلی مسئله ۵۰ این است:

• گروه را به کلاس‌های مزدوج افراز می‌کنیم.
• اندازه‌ی هر کلاس را با مرکزی‌ساز می‌نویسیم.
• از این راه به یک معادله‌ی عددی می‌رسیم.
• آن معادله را برای تحلیل ساختار گروه به کار می‌بریم.