ریاضیات

تحلیل ساختارهای جبری (قسمت ۳): مزدوج‌گیری و نرمال بودن H

در این قسمت می‌خواهیم بررسی کنیم آیا زیرگروه H در گروه G نرمال است یا نه.

معیار نرمال بودن این است:

H is normal in G <=> for every g in G and h in H, we have g h g^-1 in H

یک عضو عمومی از G و یک عضو عمومی از H را در نظر می‌گیریم:

g = [ x^k , q(x) ] ; [ 0 , 1 ]

h = [ 1 , p(x) ] ; [ 0 , 1 ]

ابتدا وارون g را می‌نویسیم. (برای ماتریس‌های بالامثلثی ۲×۲ این کار مستقیم است.)

g^-1 = [ x^-k , -x^-k q(x) ] ; [ 0 , 1 ]

حالا مزدوج‌گیری را حساب می‌کنیم. با ضرب مستقیم داریم:

g h g^-1 = [ 1 , x^k p(x) ] ; [ 0 , 1 ]

پس شرط این‌که g h g^-1 دوباره داخل H باشد این است که

برای هر چندجمله‌ای p(x)، عبارت x^k p(x) باز هم در همان فضای مجاز باقی بماند.

یعنی بسته بودن نسبت به ضرب در x^k نقش کلیدی دارد.

نکته‌ی مهم: وابستگی به حلقه‌ی ضرایب

اگر حلقه‌ی ضرایب را R بگیریم و p(x) در R[x] باشد، معمولاً ضرب در x^k مشکلی ندارد

(چون فقط درجه‌ها را جابه‌جا می‌کند). اما اگر در قسمت قطری، ضریب‌هایی شبیه 2^-i

ظاهر شوند، آن وقت داستان عوض می‌شود.

برای نمونه فرض کنید ماتریس قطری زیر را داشته باشیم:

uⁱ = diag( 2^-i , 1 )

اگر h در H باشد، مزدوج‌گیری uⁱ h u^-i درایه‌ی بالا-راست را این‌طور تغییر می‌دهد:

uⁱ h u^-i = [ 1 , 2^-i p(x) ] ; [ 0 , 1 ]

حالا اگر p(x) در Z[x] باشد، معمولاً 2^-i p(x) دیگر در Z[x] نیست

(چون 1/2 در Z وجود ندارد). بنابراین در این حالت ممکن است:

uⁱ H u^-i is NOT a subset of H

و در نتیجه H در G نرمال نباشد.

راه‌های رفع مشکل

برای این‌که نرمال بودن برقرار شود، معمولاً یکی از این کارها را انجام می‌دهیم:

• حلقه را بزرگ‌تر کنیم، مثلاً از Z[x] به Q[x] یا Z[1/2][x] برویم.
• یا تنظیم گروه را طوری انتخاب کنیم که ضرایبِ قطری داخل حلقه «واحد» باشند (تا ضرب خارج از حلقه نرود).
• یا اگر مسئله مربوط به توان‌های x و x^-1 است، از حلقه‌ی لوران مثل R[x, x^-1] استفاده کنیم.

جمع‌بندی: نرمال بودن H یک خاصیت «خالصاً ماتریسی» نیست؛ بلکه به این بستگی دارد که

حلقه‌ی ضرایب و مجاز بودنِ ضرایب/توان‌ها را دقیقاً چگونه تعریف کرده باشیم.