ریاضیات

تحلیل ساختارهای جبری (قسمت ۲): زیرگروه H

در این قسمت زیرمجموعه H را تعریف می‌کنیم و نشان می‌دهیم که H یک زیرگروه از G است.

تعریف H:

H = { [1 , p(x)] ; [0 , 1] | p(x) in R[x] }

یعنی همه‌ی ماتریس‌های بالامثلثی که درایه‌ی بالا-چپ آن‌ها برابر 1 باشد.

برای اثبات زیرگروه بودن، دو عضو دلخواه از H را در نظر می‌گیریم:

h₁ = [1 , p₁(x)] ; [0 , 1]

h₂ = [1 , p₂(x)] ; [0 , 1]

وارون h₂ برابر است با:

h₂^-1 = [1 , -p₂(x)] ; [0 , 1]

اکنون حاصل h₁h₂^-1 را حساب می‌کنیم:

h₁ h₂^-1 = [1 , p₁(x)] ; [0 , 1]

[1 , -p₂(x)] ; [0 , 1]

در نتیجه:

h₁ h₂^-1 = [1 , p₁(x)-p₂(x)] ; [0 , 1]

چون p₁(x)-p₂(x) باز هم یک چندجمله‌ای از R[x] است، این ماتریس دوباره در H قرار می‌گیرد.

پس برای هر h₁ و h₂ از H داریم:

h₁ h₂^-1 in H

بنابراین:

H <= G

نتیجه: H یک زیرگروه از G است.