ریاضیات

۱) اثبات یک‌ریختی Z(p^∞) / T_n ≅ Z(p^∞)

برای اثبات اینکه گروه عامل

Z(p^∞) / T_n

با خودِ گروه

Z(p^∞)

یک‌ریخت (ایزومورف) است، از قضیهٔ اول هم‌ریختی گروه‌ها استفاده می‌کنیم.

گام اول: تعریف هم‌ریختی (φ)

نگاشت

φ: Z(p^∞) → Z(p^∞)

را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

φ(z) = z^pn

چون گروه

Z(p^∞)

جابجایی (آبلی) است، شرط هم‌ریختی برقرار است:

φ(z z₁) = (z z₁)^pn = z^pn z₁^pn = φ(z) φ(z₁)

گام دوم: تعیین هستهٔ هم‌ریختی (Ker φ)

هستهٔ نگاشت برابر است با تمام عناصری که به عضو همانی (عدد ۱) نگاشته می‌شوند:

Ker(φ) = { z ∈ Z(p^∞) | φ(z) = 1 } = { z ∈ Z(p^∞) | z^pn = 1 }

بنا بر تعریف، این مجموعه دقیقاً همان زیرگروه

T_n

است:

Ker(φ) = T_n

گام سوم: اثبات پوشایی نگاشت (Im φ)

نشان می‌دهیم تصویر نگاشت برابر کل گروه

Z(p^∞)

است. فرض کنید

x ∈ Z(p^∞)

عنصری دلخواه باشد. می‌دانیم عناصری از این گروه به صورت ریشه‌های توان‌های

p-اُم

واحد نوشته می‌شوند:

x = e^{(2 k π i / pL)}    (for some L ∈ N, k ∈ Z)

کافی است عنصر

z ∈ Z(p^∞)

را به صورت زیر انتخاب کنیم:

z = e^{(2 k π i / pn + L)}

در این صورت داریم:

φ(z) = z^pn = ( e^{(2 k π i / pn + L)} )^pn = e^{(2 k π i / pL)} = x

پس نگاشت پوشا است و

Im(φ) = Z(p^∞).

گام چهارم: نتیجه‌گیری با قضیه اول هم‌ریختی

طبق قضیه اول هم‌ریختی:

Z(p^∞) / Ker(φ) ≅ Im(φ)  ⇒  Z(p^∞) / T_n ≅ Z(p^∞)

۲) محاسبات هم‌یوغی ماتریسی (Matrix Conjugation)

در بخش دوم دست‌نویس‌ها، رابطهٔ هم‌یوغی برای ماتریس‌های فوق‌مثلثی برحصور توان

n

بررسی شده است. ماتریس‌های مولد به صورت زیر تعریف شده‌اند:

x = [ [2, 0], [0, 1] ] ,     y = [ [1, 1], [0, 1] ]

محاسبهٔ xⁿ و معکوس آن:

xⁿ = [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ]

x^-n = [ [2^-n, 0], [0, 1] ]

محاسبهٔ عبارت هم‌یوغ x^-n y xⁿ:

با ضرب ماتریسی مستقیم داریم:

x^-n y xⁿ

= [ [2^-n, 0], [0, 1] ] × [ [1, 1], [0, 1] ] × [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ]

= [ [2^-n, 0], [0, 1] ] × [ [2ⁿ, 1], [0, 1] ]

= [ [1, 2^-n], [0, 1] ]

بررسی گام استقرا برای (n + 1):

در اسلاید بعدی صحت این رابطه برای گام بعدی بررسی شده است:

x^-(n+1) y xⁿ⁺¹

= [ [2^-(n+1), 0], [0, 1] ] × [ [1, 1], [0, 1] ] × [ [2ⁿ⁺¹, 0], [0, 1] ]

= [ [1, 2^-(n+1)], [0, 1] ]

نتیجه:

هم‌یوغ کردن ماتریس

y

توسط توان‌های

x،

عنصر بالای قطر ماتریس را به صورت توان‌های

2^-n

تغییر می‌دهد که نشان‌دهندهٔ ساختار گروهی این مجموعه تحت ضرب است.