ریاضیات

2>

صورت قضیه.

اگر

K ≤ Z(p^∞)

یک زیرگروه متناهی باشد، آنگاه

K

چرخه‌ای است.

---

۱) ایدهٔ سازنده: زنجیرهٔ زیرگروه‌های T_n

برای هر

n

زیرمجموعهٔ زیر را در نظر می‌گیریم:

T_n = { z ∈ Z(p^∞) | z^pn = 1 } .

این‌ها دقیقاً «تمام ریشه‌های واحدِ مرتبهٔ

pⁿ

» هستند. همچنین داریم:

T₁ ⊆ T₂ ⊆ T₃ ⊆ ... ,

   Z(p^∞) = ∪_n T_n.

۲) چرا زیرگروه بودن T_n مهم است؟

چون می‌خواهیم نشان دهیم هر زیرگروه متناهی

K

در یکی از همین

T_n

ها «جا می‌گیرد». برای این کار لازم است

T_n

واقعاً یک زیرگروه باشد.

اگر

z₁, z₂ ∈ T_n

آنگاه:

(z₁ z₂^-1)^pn

= z₁^pn (z₂^pn)^-1

= 1.

پس

z₁ z₂^-1 ∈ T_n

و بنابراین

T_n ≤ Z(p^∞).

۳) هستهٔ استدلال: متناهی بودن یعنی «کران داشتن مرتبه‌ها»

فرض کنید

K ≤ Z(p^∞)

متناهی باشد. چون

K

متناهی است، مجموعهٔ مرتبه‌های عناصر آن نیز متناهی است، پس یک کران دارد.

از طرف دیگر در

Z(p^∞)

مرتبهٔ هر عنصر از شکل

p^m

است. بنابراین عددی

n

وجود دارد به‌طوری که برای همهٔ

x ∈ K

داریم:

x^pn = 1.

یعنی هر

x

در

T_n

قرار می‌گیرد، پس:

K ⊆ T_n.

۴) چرا چرخه‌ای بودن T_n پایان کار است؟

یک ریشهٔ واحدِ بنیادی بگیرید:

ζ = e^{2πi / pn}.

آن‌گاه همهٔ عناصر

T_n

به صورت

ζ^k

هستند، پس:

T_n = < ζ > ≅ C_pⁿ.

و چون هر زیرگروه از یک گروه چرخه‌ای، خودش چرخه‌ای است، نتیجه می‌گیریم:

K ⊆ T_n ⇒ K is cyclic.

جمع‌بندی مفهومی (یک جمله‌ای)

این قضیه در اصل می‌گوید

Z(p^∞)

«به‌صورت موضعی» چرخه‌ای است: هر تکهٔ متناهی‌اش داخل یک حلقهٔ سادهٔ چرخه‌ای

T_n

می‌نشیند.