ریاضیات

اثبات ایزومورفیسم گروه G با گروه دی‌هدرال D_k

تعریف استاندارد گروه دی‌هدرال مرتبهٔ

2k

به صورت نمایش زیر است:

D_k = < a , b | b^k = 1 , a² = 1 , b^a = b^-1 >

که در آن عمل تزویج به صورت

b^a = a^-1ba

تعریف می‌شود.

۱) بررسی روابط ساختاری در گروه G

در گروه

G = < x , y >

با فرض

x² = 1

و

y² = 1،

عناصر زیر را متناظر با مولدهای گروه دی‌هدرال تعریف می‌کنیم:

b = xy  ,  a = x

اگر فرض کنیم مرتبهٔ عنصر

b = xy

برابر

k

باشد (o(b) = k)، آنگاه روابط زیر برقرار خواهند بود:

b^k = 1  ,  a² = x² = 1

حال رابطهٔ همیوغی (تزویج) را برای این عناصر در گروه

G

بررسی می‌کنیم:

b^a = a^-1 b a = x^-1 (xy) x

چون

x^-1 = x،

داریم:

b^a = x (xy) x = (xx) yx = 1 (yx) = yx

از طرفی می‌دانیم که معکوس عنصر

b = xy

برابر است با:

b^-1 = (xy)^-1 = y^-1 x^-1 = yx

بنابراین رابطهٔ فوق نیز برقرار است:

b^a = b^-1

۲) برقراری هم‌ریختی و قضیه اساسی نمایش‌ها

چون تمام روابط تعریف‌کنندهٔ گروه

D_k

توسط تناظرهای فوق در گروه

G

ارضا می‌شوند، طبق قضیه اساسی نمایش گروه‌ها (قضیه فون دایک)، یک هم‌ریختی پوشا (Homomorphism) وجود دارد به طوری که:

φ: D_k → G

که در آن

φ(a) = x

و

φ(b) = xy.

۳) نتیجه‌گیری و ایزومورفیسم نهایی

در بخش اول اثبات نشان دادیم که مرتبهٔ گروه

G

به صورت زیر محاسبه می‌شود:

|G| = [ G : C ] . |C| = 2 . o(b) = 2k

از طرفی می‌دانیم مرتبهٔ گروه دی‌هدرال نیز برابر است با:

|D_k| = 2k

چون نگاشت

φ

یک هم‌ریختی پوشا بین دو گروه متناهی با مرتبه‌های یکسان است، این نگاشت لزوماً یک **تک‌ریختی (ایزومورفیسم)** خواهد بود. در نتیجه:

D_k ≅ G

بدین ترتیب اثبات کامل می‌شود و ساختار گروه تولیدشده توسط دو عنصر مرتبهٔ ۲ کاملاً مشخص می‌گردد.