ریاضیات

بازنویسیِ مرتبِ اثبات

فرض کنید گروه G توسط دو عنصر x و y تولید شده باشد و هر دو مرتبهٔ ۲ داشته باشند؛ یعنی:

x^2 = 1 , y^2 = 1

پس داریم:

x^(-1) = x , y^(-1) = y

۱) ساده‌سازی کلمات

هر عنصر از گروه را می‌توان به صورت یک کلمه در حروف x و y نوشت:

g = x1 x2 ... xt

اگر دو حرفِ پشت سر هم برابر باشند، چون هر کدام مرتبهٔ ۲ دارند، حذف می‌شوند:

xx = 1

yy = 1

بنابراین بعد از ساده‌سازی، هر کلمه باید به صورت یک‌درمیان از x و y باشد.

۲) حالت‌هایی که کلمه با x شروع می‌شود

اگر طول کلمه را t بگیریم، دو حالت داریم:

اگر t زوج باشد:

g = xyxy ... xy = (xy)^(t/2)

اگر t فرد باشد:

g = xyxy ... xyx = (xy)^((t-1)/2) x

۳) حالت‌هایی که کلمه با y شروع می‌شود

حال اگر کلمه با y شروع شود، باز هم می‌توان آن را به کمک x^2 = 1 به فرم‌های بالا تبدیل کرد.

yxyx ... yx = x(xy)^i

yxyx ... y = x(xy)^i x

پس هر عنصر گروه یا در زیرگروه تولیدشده توسط xy قرار می‌گیرد، یا در هم‌دستهٔ چپِ آن.

G = ∪ x

۴) نرمال بودن زیرگروه

چون فقط دو هم‌دسته داریم، شاخص این زیرگروه برابر ۲ است:

[G : ] = 2

و هر زیرگروه با شاخص ۲ نرمال است. پس:

◁ G

همچنین چون:

(xy)^(-1) = yx

نتیجه می‌گیریم که هم‌دستهٔ چپ و راست برابرند:

x = x

۵) مرتبهٔ گروه

اگر گروه متناهی باشد و مرتبهٔ عنصر xy برابر k باشد، آنگاه:

|| = k

و چون شاخص زیرگروه برابر ۲ است، داریم:

|G| = [G : ] × || = 2k

بنابراین گروه از مرتبهٔ 2k است.

اگر خواستید، همین متن را در قالبی تمیزتر و آمادهٔ کپی مستقیم برای بلاگفا هم می‌توانم بدهم؛

مثلاً با تیترهای کوتاه‌تر، فاصله‌بندی بهتر، و فرمول‌های کاملاً یکنواخت.