ریاضیات

بخش ۲۷: اثبات نرمال بودن زیرگروه تناوبی در گروه مولد دیه‌درال

در این بخش، می‌خواهیم ثابت کنیم زیرگروه چرخه‌ای تولیدشده توسط عنصر b = xy در گروه G = 〈x, y〉 با روابط x² = y² = 1، یک زیرگروه نرمال در G است؛ یعنی شاخص آن برابر با ۲ است (|G:C| = 2).

فرض کنید C = 〈xy〉 = 〈b〉. از روابط x² = 1 و y² = 1 نتیجه می‌گیریم که وارون مولدها با خودشان برابر است:

x⁻¹ = x , y⁻¹ = y

حال عمل تزویج (Conjugation) مولدهای گروه G روی عنصر b را بررسی می‌کنیم:

۱) تزویج با مولد x:

با تعریف b = xy داریم:

bˣ = x⁻¹ (xy) x = x (xy) x = (xx) yx

از آنجا که x² = 1، به دست می‌آید:

bˣ = yx = y⁻¹ x⁻¹ = (xy)⁻¹ = b⁻¹

بنابراین به رابطهٔ (۱) می‌رسیم:

(۱) bˣ = b⁻¹

۲) تزویج با مولد y:

به طور مشابه برای تزویج با y داریم:

bʸ = y⁻¹ (xy) y = y (xy) y = yx (yy)

از آنجا که y² = 1، به دست می‌آید:

bʸ = yx = y⁻¹ x⁻¹ = (xy)⁻¹ = b⁻¹

بنابراین به رابطهٔ (۲) می‌رسیم:

(۲) bʸ = b⁻¹

نتیجه‌گیری:

با استفاده از رابطه‌های (۱) و (۲) و از آنجا که گروه G توسط x و y تولید می‌شود، تزویج هر عنصرِ زیرگروه چرخه‌ای C = 〈b〉 با هر عنصری از گروه G دوباره در خودِ C قرار خواهد گرفت (زیرا مولدها، b را به b⁻¹ ∈ C می‌نگارند). این امر ثابت می‌کند که زیرگروه C یک زیرگروه نرمال در G است (C ⊲ G).

در بخش بعد، برای اثبات کامل‌ترِ ساختار این گروه و نمایش هم‌دسته‌ها، فرم نرمال جملات را بررسی خواهیم کرد.