ریاضیات

ادامهٔ متن: شرط بیشینه و مثال ماتریسی

در این بخش، می‌خواهیم نتیجهٔ مثال ماتریسی را در قالبی دقیق‌تر و مناسبِ یادداشت‌های آموزشی بیان کنیم. فرض کنید

G = 〈x, y〉, x = [[2, 0], [0, 1]], y = [[1, 1], [0, 1]].

آنگاه برای هر

n ≥ 0

داریم:

x⁻ⁿ y xⁿ = [[1, 2⁻ⁿ], [0, 1]].

پس زیرگروه‌های چرخه‌ای زیر را در نظر می‌گیریم:

Hₙ = 〈x⁻ⁿ y xⁿ〉 = { [[1, m·2⁻ⁿ], [0, 1]] | m ∈ Z }.

اکنون برای مقایسهٔ دو مرحلهٔ متوالی، کافی است توجه کنیم که:

(x⁻(n+1) y xⁿ⁺¹)² = x⁻ⁿ y xⁿ.

یعنی عنصرِ مرحلهٔ بعد، مربعی از عنصرِ مرحلهٔ قبل است. بنابراین:

Hₙ ⊆ Hₙ₊₁.

از طرف دیگر، این شمول سخت است؛ چون اگر

Hₙ = Hₙ₊₁

بود، آنگاه باید

x⁻(n+1) y xⁿ⁺¹

در

Hₙ

قرار می‌گرفت و لذا پارامتر

2⁻(n+1)

باید مضربی صحیح از

2⁻ⁿ

باشد؛ اما این به معنای

1/2 ∈ Z

است که محال است. پس:

Hₙ ⊊ Hₙ₊₁.

بنابراین زنجیرهٔ

〈y〉 ⊊ 〈x⁻¹ y x〉 ⊊ 〈x⁻² y x²〉 ⊊ ⋯

یک زنجیرهٔ صعودیِ نامتناهی از زیرگروه‌هاست. در نتیجه، گروه

G

شرط بیشینه روی زیرگروه‌ها را ندارد و بنابراین نُترین نیست.

جمع‌بندی

این مثال نشان می‌دهد که حتی یک گروهِ متناهی‌مولد نیز می‌تواند زنجیره‌ای نامتناهی از زیرگروه‌های صعودی داشته باشد. ایدهٔ اصلی، ساختن زیرگروه‌هایی است که با مزدوج‌گیریِ پیاپی «ریزتر» می‌شوند و هر مرحله واقعاً بزرگ‌تر از مرحلهٔ قبل است.